ГДЗ Задача 8 Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке O . Найдите радиус окружности, если ...
Задача 8
Из точки \(A\) проведены две касательные к окружности с центром в точке \(O\). Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен \(60^\circ\), а расстояние от точки \(A\) до точки \(O\) равно \(8\).
Решение:
- Пусть точки касания — \(B\) и \(C\). Проведем радиус \(OB\) к точке касания. По свойству касательной, \(OB \perp AB\), значит, треугольник \(\triangle ABO\) — прямоугольный (\(\angle B = 90^\circ\)).
- Отрезок \(AO\) является биссектрисой угла между касательными. Следовательно:
\[ \angle BAO = \frac{1}{2} \angle A = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]
- В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABO\) катет \(OB\) (радиус \(R\)) лежит против угла в \(30^\circ\). По свойству такого катета, он равен половине гипотенузы \(AO\):
\[\nOB = \frac{1}{2} AO = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \]
Задача 10
В угол \(C\) величиной \(107^\circ\) вписана окружность, которая касается сторон угла в точках \(A\) и \(B\). Найдите угол \(AOB\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
- Рассмотрим четырехугольник \(OACB\).
- Радиусы \(OA\) и \(OB\), проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам угла: \(\angle OAC = 90^\circ\) и \(\angle OBC = 90^\circ\).
- Сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\). Находим искомый угол:
\[
\angle AOB = 360^\circ - (\angle OAC + \angle OBC + \angle C)
\]
\[
\angle AOB = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 107^\circ) = 360^\circ - 287^\circ = 73^\circ
\]
Задача 12
В окружности с центром в точке \(O\) проведены диаметры \(AD\) и \(BC\), угол \(OCD\) равен \(80^\circ\). Найдите величину угла \(OAB\).
Решение:
- Рассмотрим \(\triangle COD\). Отрезки \(OC\) и \(OD\) — радиусы окружности, значит \(\triangle COD\) — равнобедренный. Углы при основании равны:
\[ \angle ODC = \angle OCD = 80^\circ \]
- Рассмотрим \(\triangle AOB\). Отрезки \(OA\) и \(OB\) — также радиусы, значит \(\triangle AOB\) — равнобедренный.
- Углы \(\angle AOB\) и \(\angle COD\) равны как вертикальные.
- Так как треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\) равнобедренные и имеют равные углы при вершинах (\(O\)), то они равны (по двум сторонам и углу между ними) или подобны. Следовательно, углы при их основаниях равны:
\[ \angle OAB = \angle ODC = 80^\circ \]