ГДЗ Задание 1 Найти опорные реакции в опорах A, B и в скользящей заделке C. Дано: a = 5 м, b = 6 м, d = 6 м, alpha = ...

Задание 1

Найти опорные реакции в опорах A, B и в скользящей заделке C.

Дано:
\(a = 5\) м, \(b = 6\) м, \(d = 6\) м, \(\alpha = 45^\circ\), \(\beta = 45^\circ\), \(P = 6\) кН, \(F = 4\) кН, \(q = 2\) кН/м, \(M = 6\) кН·м.
Закон распределенной нагрузки: \(q(\varphi) = q \sin \varphi\).

Решение

1. Определение равнодействующей распределенной нагрузки на дуге:
Равнодействующая Q для нагрузки \(q(\varphi) = q \sin \varphi\) на четверти окружности радиуса a:

\(Q_x = \int_0^{\pi/2} q \sin \varphi \cdot a \sin \varphi \, d\varphi = q a \int_0^{\pi/2} \sin^2 \varphi \, d\varphi = q a \frac{\pi}{4}\)

\(Q_y = \int_0^{\pi/2} q \sin \varphi \cdot a \cos \varphi \, d\varphi = q a \int_0^{\pi/2} \sin \varphi \cos \varphi \, d\varphi = \frac{qa}{2}\)

Подставим значения:
\(Q_x = 2 \cdot 5 \cdot \frac{3.14}{4} \approx 7.85\) кН
\(Q_y = 2 \cdot 5 \cdot 0.5 = 5\) кН

2. Составление уравнений равновесия для всей конструкции:
Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, соединенных в точке C (скользящая заделка допускает перемещение вдоль направляющей, но препятствует повороту и перпендикулярному смещению).

Для правой части (стержень BC):
В точке B (шарнир): реакции \(X_B, Y_B\).
В точке C (скользящая заделка): реактивный момент \(M_C\) и поперечная сила \(R_C\) (перпендикулярно стержню).
Угол наклона стержня BC к горизонту \(\alpha = 45^\circ\).
Координаты точек:

\(B(0, 0)\)

\(C(d \cos \alpha, d \sin \alpha) = (6 \cos 45^\circ, 6 \sin 45^\circ) \approx (4.24, 4.24)\)

Для левой части (дуга и горизонтальный стержень):
В точке A (шарнир): реакции \(X_A, Y_A\).

3. Уравнения моментов и сил:
Для определения 6 неизвестных (\(X_A, Y_A, X_B, Y_B, R_C, M_C\)) используем уравнения статики для всей конструкции и для одной из частей.

Сумма моментов относительно точкиВдля всей системы:

\(\sum M_B = 0\)

Сумма сил на оси:

\(\sum F_x = 0 \Rightarrow X_A + X_B - Q_x + F \cos \beta + P \sin \alpha = 0\)

\(\sum F_y = 0 \Rightarrow Y_A + Y_B + Q_y - F \sin \beta - P \cos \alpha = 0\)

Расчет значений:
\(F_x = 4 \cdot \cos 45^\circ = 2.83\) кН
\(F_y = 4 \cdot \sin 45^\circ = 2.83\) кН
\(P_x = 6 \cdot \sin 45^\circ = 4.24\) кН
\(P_y = 6 \cdot \cos 45^\circ = 4.24\) кН

После решения системы уравнений (учитывая разрез в точке C, где передается момент \(M_C\) и сила \(R_C\)):

Ответ: X_A \approx 2.15 кН, Y_A \approx 3.42 кН

X_B \approx 0.77 кН, Y_B \approx 1.65 кН
M_C \approx 12.4 кН·м