ГДЗ Упражнения 98. На рисунке 113 найдите градусную меру угла x. а) На рисунке изображены прямые a и b, пересеченные ...

Упражнения

98. На рисунке 113 найдите градусную меру угла x.

а) На рисунке изображены прямые a и b, пересеченные секущими m и n.

1. Рассмотрим углы при прямой m: соответственные углы равны (оба по \(80^\circ\)), значит прямые a и b параллельны (a \(\parallel\) b).
2. Рассмотрим углы при прямой n: так как a \(\parallel\) b, то накрест лежащие углы равны. Угол, накрест лежащий с углом \(40^\circ\), равен \(40^\circ\).
3. Угол x и угол \(40^\circ\) являются смежными.

\[x = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\]

Ответ: \(140^\circ\).

б)

1. Углы \(110^\circ\) и угол, вертикальный углу в \(70^\circ\), являются односторонними. Проверим параллельность a и b: \(110^\circ + 70^\circ = 180^\circ\). Сумма односторонних углов равна \(180^\circ\), следовательно, a \(\parallel\) b.
2. При параллельных прямых a и b и секущей n соответственные углы равны. Угол, соответственный углу \(50^\circ\), находится рядом с x.
3. Угол x и угол \(50^\circ\) (соответственный) являются смежными.

\[x = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\]

Ответ: \(130^\circ\).

99. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, на \(48^\circ\) меньше другого. Найдите эти углы.

Пусть один угол равен x, тогда второй — \(x + 48^\circ\).

Так как прямые параллельны, сумма односторонних углов равна \(180^\circ\).

\[x + (x + 48^\circ) = 180^\circ\]

\[2x = 132^\circ\]

\[x = 66^\circ\]

Второй угол: \(66^\circ + 48^\circ = 114^\circ\).

Ответ: \(66^\circ\) и \(114^\circ\).

100. На рисунке 114 прямые MN и KP параллельны. Докажите, что биссектрисы углов MCD и CDP параллельны.

1. Пусть MN \(\parallel\) KP, тогда накрест лежащие углы MCD и CDP равны.
2. Проведем биссектрисы CA и DB. По определению биссектрисы: \(\angle ACD = \frac{1}{2} \angle MCD\) и \(\angle CDB = \frac{1}{2} \angle CDP\).
3. Так как \(\angle MCD = \angle CDP\), то и их половины равны: \(\angle ACD = \angle CDB\).
4. Эти углы являются накрест лежащими для прямых (биссектрис) CA и DB и секущей CD. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Что и требовалось доказать.

101. На биссектрисе углаАВСотметили точку K и через неё провели прямую, параллельную стороне BA. Эта прямая пересекает сторону BC в точке F. Найдите углы BFK и FKB, если \(\angle FBK = 40^\circ\).

1. BK — биссектриса \(\angle\) ABC. Если \(\angle FBK = 40^\circ\), то весь угол \(\angle ABC = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ\).
2. Так как KF \(\parallel\) AB, то \(\angle\) BFK и \(\angle\) ABC — односторонние углы. Их сумма \(180^\circ\).

\[\angle BFK = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\]

3. \(\angle\) FKB и \(\angle\) ABK — накрест лежащие при KF \(\parallel\) AB и секущей BK.

\[\angle FKB = \angle ABK = 40^\circ\]

Ответ: \(\angle BFK = 100^\circ\), \(\angle FKB = 40^\circ\).

102. На рисунке 115 биссектриса угла ABD пересекает прямую AC в точке F, а биссектриса угла DCK пересекает прямую AC в точке E. [Далее текст обрезан, решение аналогично свойствам параллельности].