ГДЗ №1 а) Доказательство: По условию KA perp (ABC). Так как BC subset (ABC), то KA perp BC. Также по условию KB perp ...
№1
а) Доказательство:
По условию KA \(\perp\) (ABC). Так как BC \(\subset\) (ABC), то KA \(\perp\) BC. Также по условию KB \(\perp\) BC.
Прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым KA и KB плоскости KAB, следовательно, BC \(\perp\) (KAB).
Так как AB \(\subset\) (KAB), то BC \(\perp\) AB. Значит, \(\triangle\) ABC — прямоугольный (с прямым углом B).
б) Доказательство:
Прямая BC перпендикулярна плоскости KAB (доказано выше), значит, любая плоскость, проходящая через BC, перпендикулярна плоскости KAB. Плоскость ABC проходит через BC, следовательно, (KAB) \(\perp\) (ABC).
в) Нахождение KA:
В прямоугольном \(\triangle\) ABC по теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\) см.
В прямоугольном \(\triangle\) KAB (так как KA \(\perp\) AB): \(\tan(\angle KBA) = KA / AB\).
\(KA = AB \cdot \tan(45^\circ) = 12 \cdot 1 = 12\) см.
Ответ: 12 см.
№2
Пусть M — середина AC. Так как \(\triangle\) ABC равнобедренный (\(AB=BC\)), то BM \(\perp\) AC.
Так как AC \(\subset\) \(\alpha\), то BM — наклонная к плоскости \(\alpha\), а BM \(\perp\) AC (проекция наклонной). По теореме о трех перпендикулярах, BM — проекция наклонной, а угол между плоскостями — это угол между BM и его проекцией на \(\alpha\).
Пусть B' — проекция B на \(\alpha\). Тогда \(\angle BMB' = 30^\circ\). Расстояние от B до \(\alpha\) — это BB'.
В \(\triangle\) ABC: \(AM = 12\) см. \(BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\) см.
В прямоугольном \(\triangle\) BB'M: \(BB' = BM \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot 0,5 = 8\) см.
Ответ: 8 см.
№3
Линейный угол двугранного угла строится как угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в разных гранях из одной точки на ребре.
а) Линейный угол — \(\angle\) ABD (так как AB \(\perp\) BC и DB \(\perp\) BC).
б) Линейный угол — \(\angle\) ABD (аналогично, при условии AB \(\perp\) BC и DB \(\perp\) BC).
в) Если ABCD — квадрат, то линейный угол — \(\angle\) EBD, где BE \(\perp\) AC и BD \(\perp\) AC (или аналогично через перпендикуляры к ребру AC).