ГДЗ Задача 337 Условие: Докажите, что если две хорды AB и AC окружности равны, то ни одна из них не является диаметро...

Задача 337

Условие: Докажите, что если две хорды AB и AC окружности равны, то ни одна из них не является диаметром этой окружности (при условии, что точки A, B и C не совпадают).

Доказательство:

1. Пусть O — центр окружности. Хорда является диаметром тогда и только тогда, когда она проходит через центр окружности O.
2. Предположим от противного, что хордаАВявляется диаметром. Тогда точкаОлежит на отрезке AB.
3. Так как AB — диаметр, то \(OA = OB = R\) (радиус окружности).
4. По условию \(AB = AC\). Так как AB — диаметр, то \(AB = 2R\). Следовательно, \(AC = 2R\).
5. Однако, любая хорда в окружности не может быть больше диаметра. ХордаАСравна диаметру AB только в том случае, еслиАСтакже является диаметром.
6. Если AC — диаметр, то точкаОлежит на отрезке AC.
7. Таким образом, точки A, B, C лежат на одной прямой (диаметре), проходящей через центр O. Так как \(AB = AC\) и они лежат на одной прямой, то точки B и C должны совпадать, что противоречит условию задачи (подразумевается, что B и C — различные точки).
8. Следовательно, наше предположение было неверным, и ни одна из хордАВилиАСне может быть диаметром.

Ответ: Доказано.