ГДЗ Пример 4 Условие: Расстояние между точками A и B на клетчатой сетке равно 2 (рис. 8). Сколько существует узлов эт...
Пример 4
Условие:
Расстояние между точками A и B на клетчатой сетке равно 2 (рис. 8). Сколько существует узлов этой сетки, расстояние от которых до точки А больше 2, а до точки B — меньше 2?
Решение:
- Определим масштаб:
По условию расстояние между A и B равно 2. На рисунке между ними ровно 2 клетки. Значит, сторона одной клетки равна 1.
- Условие 1: Расстояние до точки В меньше 2.
Узлы сетки, расстояние от которых до B меньше 2, — это точки, находящиеся внутри круга радиуса 2 с центром в B.
Выпишем координаты узлов относительно \(B(0,0)\), расстояние d до которых \(d < 2\):
- Сама точка \(B(0,0)\): \(d = 0 < 2\).
- Соседние узлы по горизонтали и вертикали: \((\pm 1, 0)\) и \((0, \pm 1)\). Для них \(d = 1 < 2\).
- Узлы по диагонали: \((\pm 1, \pm 1)\). Для них \(d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41 < 2\).
- Узлы на расстоянии 2 (например, \((2,0)\) или \((0,2)\)) не подходят, так как расстояние должно быть строго меньше 2.
Итого имеем 9 узлов, удовлетворяющих условию для B.
- Условие 2: Расстояние до точки А больше 2.
Точка А находится на 2 клетки левее B. Проверим каждый из 9 найденных выше узлов на расстояние до A:
- Точка B: расстояние до A равно 2. Не подходит (нужно > 2).
- Узлы слева от B: \((-1, 0)\), \((-1, 1)\), \((-1, -1)\). Они находятся ближе к A, чем точка B. Расстояния до A будут 1, \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{2}\) соответственно. Не подходят.
- Узлы на одной вертикали с B: \((0, 1)\) и \((0, -1)\). Расстояние до A равно \(\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \approx 2,24\). Это больше 2. Подходят (2 узла).
- Узлы справа от B: \((1, 0)\), \((1, 1)\), \((1, -1)\). Расстояния до A равны 3, \(\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \approx 3,16\). Это больше 2. Подходят (3 узла).
- Итоговый подсчет:
Подходящие узлы: \((0, 1)\), \((0, -1)\), \((1, 0)\), \((1, 1)\), \((1, -1)\) относительно точки B.
Всего таких узлов: \(2 + 3 = 5\).
Ответ: 5