ГДЗ Пример 4 Условие: Расстояние между точками A и B на клетчатой сетке равно 2 (рис. 8). Сколько существует узлов эт...

Пример 4

Условие:
Расстояние между точками A и B на клетчатой сетке равно 2 (рис. 8). Сколько существует узлов этой сетки, расстояние от которых до точки А больше 2, а до точки B — меньше 2?

Решение:

1. Определим масштаб:

По условию расстояние между A и B равно 2. На рисунке между ними ровно 2 клетки. Значит, сторона одной клетки равна 1.

2. Условие 1: Расстояние до точки В меньше 2.

Узлы сетки, расстояние от которых до B меньше 2, — это точки, находящиеся внутри круга радиуса 2 с центром в B.

Выпишем координаты узлов относительно \(B(0,0)\):

• На расстоянии 0: \((0,0)\) — сама точка B.
• На расстоянии 1: \((1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1)\).
• На расстоянии \(\sqrt{2} \approx 1.41\): \((1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)\).

Всего 9 таких узлов.

3. Условие 2: Расстояние до точки А больше 2.

Точка А находится в 2 клетках слева от B. В системе координат с центром \(B(0,0)\) точка А имеет координаты \((-2,0)\).

Проверим каждый из 9 найденных выше узлов на соответствие условию \(d(X, A) > 2\), используя формулу расстояния \(d = \sqrt{(x - (-2))^2 + (y - 0)^2}\):

• Для \(B(0,0)\): \(d = \sqrt{(0+2)^2 + 0^2} = 2\). (Не подходит, так как нужно больше 2).
• Для \((1,0)\): \(d = \sqrt{(1+2)^2 + 0^2} = 3 > 2\). (Подходит).
• Для \((-1,0)\): \(d = \sqrt{(-1+2)^2 + 0^2} = 1 < 2\). (Не подходит).
• Для \((0,1)\): \(d = \sqrt{(0+2)^2 + 1^2} = \sqrt{5} \approx 2.24 > 2\). (Подходит).
• Для \((0,-1)\): \(d = \sqrt{(0+2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \approx 2.24 > 2\). (Подходит).
• Для \((1,1)\): \(d = \sqrt{(1+2)^2 + 1^2} = \sqrt{10} \approx 3.16 > 2\). (Подходит).
• Для \((1,-1)\): \(d = \sqrt{(1+2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \approx 3.16 > 2\). (Подходит).
• Для \((-1,1)\): \(d = \sqrt{(-1+2)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 < 2\). (Не подходит).
• Для \((-1,-1)\): \(d = \sqrt{(-1+2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 < 2\). (Не подходит).

4. Итог:

Подходят узлы с координатами (относительно B): \((1,0), (0,1), (0,-1), (1,1), (1,-1)\). Всего 5 узлов.

Ответ: 5