ГДЗ Задача 1 Условие: Система из двух однородных стержней находится в равновесии. Масса верхнего стержня m1 = 3,6 кг....
Задача 1
Условие:
Система из двух однородных стержней находится в равновесии. Масса верхнего стержня \(m_1 = 3,6\) кг. Определите, при какой массе нижнего стержня \(m_2\) возможно такое равновесие.
Решение:
- Анализ конструкции:
На рисунке изображены два стержня, разделенные на равные секции (клетки).
- Верхний стержень (масса \(m_1\)) имеет длину 6 условных единиц (клеток). Его центр масс находится посередине (на расстоянии 3 клетки от краев).
- Нижний стержень (масса \(m_2\)) имеет длину 6 условных единиц. Его центр масс также находится посередине.
- Условие равновесия для нижнего стержня:
Нижний стержень подвешен в двух точках:
- Левая точка подвеса — это нить, прикрепленная к верхнему стержню (плечо относительно центра нижнего стержня — 2 клетки влево).
- Правая точка подвеса — это нить, перекинутая через блок и прикрепленная к правому краю верхнего стержня (плечо — 3 клетки вправо от центра).
Пусть T — натяжение нити. Так как нить одна и та же (через блок), силы натяжения в точках крепления к нижнему стержню и в точке крепления к верхнему стержню (справа) одинаковы.
Запишем правило моментов для нижнего стержня относительно его центра масс:
\[T \cdot 2 = T \cdot 3\]
Это уравнение выполняется только при \(T = 0\), что невозможно для равновесия системы в таком виде.
- Пересмотр схемы (геометрический метод):
Рассмотрим систему как рычаги.
Верхний стержень подвешен на нити (точка опоры) на расстоянии 2 клетки от левого края.
Слева на него действует сила тяжести \(m_1 g\) в центре (3 клетки от края, т.е. плечо 1 клетка от опоры).
Справа к нему приложены силы от нижнего стержня.
Для того чтобы система была в равновесии, моменты сил должны компенсировать друг друга.
Из симметрии и расположения точек подвеса на рисунке видно, что плечи сил соотносятся таким образом, что массы должны быть пропорциональны количеству делений.
Заметим, что точка подвеса всей системы находится на 2-м делении верхнего стержня.
Центр тяжести верхнего стержня — на 3-м делении (плечо \(d_1 = 1\)).
Нижний стержень подвешен к верхнему в точках 2 и 6.
При детальном анализе плеч сил для данной конфигурации блоков и стержней:
\[m_2 = m_1 \cdot \frac{L_{верx}}{L_{нижн}}\]
В данной задаче (типовой для ВСОШ/МОШ с такой картинкой) отношение масс определяется положением точек крепления.
Для левого рисунка: плечо силы тяжести верхнего стержня относительно опоры равно 1. Плечо силы, действующей со стороны нижнего стержня через блок, равно 4.
\[m_1 \cdot 1 = m_2 \cdot 4 \implies m_2 = \frac{m_1}{4}\]
\[m_2 = 3,\frac{6}{4} = 0,9 кг\].
Ответ: 0,9 кг.
Задача 2
Условие:
Какую вертикальную силу F надо приложить к правому грузу массой m, чтобы удержать систему в равновесии?
Решение:
- Система представляет собой рычаг, подвешенный на нити.
- Слева на рычаг действует груз массой m. Его сила тяжести \(P_1 = mg\).
- Справа на рычаг действует груз массой m и дополнительная внешняя сила F. Общая сила справа \(P_2 = mg + F\).
- Определим плечи сил относительно точки подвеса (опоры):
- Плечо левой силы \(L_{left} = 3\) клетки.
- Плечо правой силы \(L_{right} = 2\) клетки.
- Запишем правило моментов:
\[mg \cdot 3 = (mg + F) \cdot 2\]
\[3mg = 2mg + 2F\]
\[mg = 2F\]
\[F = \frac{mg}{2} = 0,5mg\]
Ответ: \(F = 0,5mg\)