ГДЗ Задача В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK....
Задача
В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. УголКМ Р равен \(90^\circ\), \(CM = 12\). Найдите BM.
Решение
- Рассмотрим углы при вершине M. Точка М лежит на стороне AC, следовательно, углы \(\angle\) AMB и \(\angle\) BMC являются смежными. Их сумма равна \(180^\circ\).
- По условию MK — биссектриса \(\angle\) AMB. Обозначим \(\angle AMK = \angle KMB = \alpha\). Тогда \(\angle AMB = 2\alpha\).
- Рассмотрим \(\angle\) KMP. По условию \(\angle KMP = 90^\circ\). Заметим, что \(\angle KMP = \angle KMB + \angle BMP\).
Отсюда \(\angle BMP = 90^\circ - \alpha\).
- Найдем величину \(\angle\) PMC. Так как \(\angle\) AMB и \(\angle\) BMC смежные:
\[\angle BMC = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - 2\alpha\]
Тогда (\(\angle\) PMC = \(\angle\) BMC - \(\angle\) BMP = (180^\(\circ\) - 2\(\alpha\)) - (90^\(\circ\) - \(\alpha\)) = 180^\(\circ\) - 2\(\alpha\) - 90^\(\circ\) + \(\alpha\) = 90^\(\circ\) - \(\alpha\)].
- Заметим, что в треугольнике CBM отрезок MP является высотой (по условию \(\angle MPC = 90^\circ\)).
Мы получили, что \(\angle BMP = \angle PMC = 90^\circ - \alpha\). Это означает, чтоМ Р также является биссектрисой угла BMC.
- Если в треугольнике (\(\triangle\) BMC) высота совпадает с биссектрисой, то такой треугольник является равнобедренным с основанием BC.
- Следовательно, боковые стороны равны: \(BM = CM\).
- Так как по условию \(CM = 12\), то \(BM = 12\).
Ответ: 12