ГДЗ Задача Докажите, что в прямоугольном Delta ABC медиана, проведённая к гипотенузе AB, равна половине гипотенузы. Д...

Задача

Докажите, что в прямоугольном \Delta ABC медиана, проведённая к гипотенузе AB, равна половине гипотенузы.

Доказательство

1. Дополнительное построение:

Пусть CM — медиана прямоугольного треугольника ABC (\(\angle C = 90^\circ\)), проведённая к гипотенузе AB. Продлим медиану CM за точку М на отрезок \(MD = CM\). Соединим точку D с точками A и B.

2. Анализ фигуры ACBD:

• По построению \(AM = MB\) (так как CM — медиана).
• По построению \(CM = MD\).
• Следовательно, в четырёхугольнике ACBD диагонали AB и CD точкой пересечения M делятся пополам. Значит, ACBD — параллелограмм.

3. Свойства прямоугольника:

• Так как в параллелограмме ACBD угол С прямой (\(90^\circ\)), то этот параллелограмм является прямоугольником.
• В прямоугольнике диагонали равны: \(CD = AB\).

4. Вывод:

• Так как \(CM = \frac{1}{2} CD\) (по построению) и \(CD = AB\), то:

\[CM = \frac{1}{2} AB\]

Что и требовалось доказать.