ГДЗ Задание 17 Условие: Кристина написала на листе бумаги двузначное число и показала его Ярику. Ярик понял, что это ...
Задание 17
Условие:
Кристина написала на листе бумаги двузначное число и показала его Ярику. Ярик понял, что это число делится на 4, и дописал такое же число справа. В результате получилось четырёхзначное число, которое можно поделить на 13. Какое число написала Кристина?
Решение:
- Пусть двузначное число, которое написала Кристина, равно x.
- По условию, Ярик дописал такое же число справа. Это означает, что к исходному числу, умноженному на 100 (сдвиг на два разряда), прибавили это же число. Полученное четырёхзначное число можно записать как:
\[100 \cdot x + x = 101x\]
- Нам известно, что полученное число\(101x\)делится на 13.
- Число 101 является простым и не делится на 13 (так как\(13 \cdot 7 = 91\), а\(13 \cdot 8 = 104\)). Следовательно, чтобы произведение\(101 \cdot x\)делилось на 13, само числохдолжно делиться на 13.
- Также из условия мы знаем, что числохделится на 4.
- Если число делится и на 13, и на 4, то оно должно делиться на их произведение (так как 13 и 4 взаимно просты):
\[13 \cdot 4 = 52\]
- Проверим, есть ли другие двузначные числа, кратные 52. Следующее число:\(52 \cdot 2 = 104\), но оно уже трёхзначное.
- Таким образом, единственное двузначное число, удовлетворяющее всем условиям — это 52.
Проверка:
- Число 52 делится на 4 (\(52 : 4 = 13\)).
- Если дописать 52 справа, получится 5252.
- Проверим делимость на 13:\(5252 : 13 = 404\). Число делится без остатка.
Ответ: 52