ГДЗ Г – 11 К – 3 В - 1 Задание 1 Условие: Радиус основания цилиндра равен 2 см, высота равна 3 см. Найдите площадь по...
Г – 11 К – 3 В - 1
Задание 1
Условие: Радиус основания цилиндра равен 2 см, высота равна 3 см. Найдите площадь полной поверхности.
Решение:
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:\(S_{полн} = 2\pi R(R + H)\).
Подставим значения:\(R = 2\)см,\(H = 3\)см.
\[S_{полн} = 2\pi \cdot 2 \cdot (2 + 3) = 4\pi \cdot 5 = 20\pi (см^2)\]
Ответ: \(20\pi см^2\).
Задание 2
Условие: Площадь основания конуса равна\(16\pi дм^2\), высота — 6 дм. Найдите образующую.
Решение:
- Из площади основания\(S_{осн} = \pi R^2\)найдем радиус:
\(\pi R^2 = 16\pi \rightarrow R^2 = 16 \rightarrow R = 4\)(дм).
- Образующая l, высота H и радиус R образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
\(l = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)(дм).
Ответ: \(2\sqrt{13}\)дм.
Задание 3
Условие: Напишите уравнение сферы с центром\(Q(2; -4; 7)\)и радиусом 7 см.
Решение:
Уравнение сферы имеет вид:\((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2\).
Подставим координаты центра\((2; -4; 7)\)и радиус\(R = 7\):
\((x - 2)^2 + (y - (-4))^2 + (z - 7)^2 = 7^2\)
\((x - 2)^2 + (y + 4)^2 + (z - 7)^2 = 49\)
Ответ: \((x - 2)^2 + (y + 4)^2 + (z - 7)^2 = 49\).
Задание 4
Условие: Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с углом\(120^\circ\)и равными сторонами по 16 см. Найти площадь поверхности конуса.
Решение:
Равные стороны сечения — это образующие\(l = 16\)см. Угол при вершине\(120^\circ\).
- Найдем радиус основания R из треугольника сечения по теореме косинусов (основание сечения — это диаметр\(D = 2R\)):
\((2R)^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(120^\circ)\)
\(4R^2 = 256 + 256 - 512 \cdot (-0.5) = 512 + 256 = 768\)
\(R^2 = 192 \rightarrow R = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}\)(см).
- Площадь полной поверхности:\(S_{полн} = \pi R(R + l)\).
\(S_{полн} = \pi \cdot 8\sqrt{3} \cdot (8\sqrt{3} + 16) = 8\pi\sqrt{3} \cdot 8(\sqrt{3} + 2) = 64\pi(3 + 2\sqrt{3})\)(\(см^{2}\)).
Ответ: \(64\pi(3 + 2\sqrt{3}) см^2\).
Задание 5
Условие: Диаметр шара равен\(2m\). Через конец диаметра проведена плоскость под углом\(45^\circ\)к нему. Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.
Решение:
- Радиус шара\(R = m\). Линия пересечения — окружность.
- Рассмотрим сечение, проходящее через центр шара перпендикулярно плоскости. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — диаметр шара\(D = 2m\), а катет — диаметр сечения d. Угол между ними\(45^\circ\).
\(d = D \cdot \cos(45^\circ) = 2m \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = m\sqrt{2}\).
- Радиус сечения\(r = \frac{d}{2} = \frac{m\sqrt{2}}{2}\).
- Длина линии (окружности):\(C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{m\sqrt{2}}{2} = \pi m\sqrt{2}\).
Ответ: \(\pi m\sqrt{2}\). ## Г – 11 К – 3 В - 2
Задание 1
Условие: Площадь боковой поверхности цилиндра равна\(20\pi см^2\), диаметр основания равен 5 см. Найдите высоту цилиндра.
Решение:
\(S_{бок} = 2\pi RH = \pi DH\).
\(20\pi = \pi \cdot 5 \cdot H \rightarrow 5H = 20 \rightarrow H = 4\)(см).
Ответ: 4 см.
Задание 2
Условие: Радиус основания конуса равен 3 дм, образующая равна 5 дм. Найдите площадь полной поверхности.
Решение:
\(S_{полн} = \pi R^2 + \pi Rl = \pi R(R + l)\).
\(S_{полн} = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 3\pi \cdot 8 = 24\pi (дм^2)\).
Ответ: \(24\pi дм^2\).
Задание 3
Условие: Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:\((x - 3)^2 + y^2 + (z + 5)^2 = 36\).
Решение:
Сравнивая с общим видом\((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2\):
Центр\(O(3; 0; -5)\).
Радиус\(R = \sqrt{36} = 6\).
Ответ: (O(3; 0;\(-5), R = 6\)).
Задание 4
Условие: Осевое сечение конуса — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см. Найти площадь поверхности конуса.
Решение:
- Гипотенуза сечения — это диаметр основания\(D = 12\)см, значит\(R = 6\)см.
- Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, образующие l являются катетами. По теореме Пифагора:\(l^2 + l^2 = 12^2 \rightarrow 2l^2 = 144 \rightarrow l^2 = 72 \rightarrow l = 6\sqrt{2}\)(см).
- \(S_{полн} = \pi R(R + l) = \pi \cdot 6 \cdot (6 + 6\sqrt{2}) = 36\pi(1 + \sqrt{2})\)(\(см^{2}\)).
Ответ: \(36\pi(1 + \sqrt{2}) см^2\).
Задание 5
Условие: Диаметр шара равен\(4m\). Через конец диаметра проведена плоскость под углом\(30^\circ\)к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.
Решение:
- Радиус шара\(R = 2m\).
- Диаметр сечения\(d = D \cdot \cos(30^\circ) = 4m \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2m\sqrt{3}\).
- Радиус сечения\(r = \frac{d}{2} = m\sqrt{3}\).
- Площадь сечения (круга):\(S = \pi r^2 = \pi (m\sqrt{3})^2 = 3\pi m^2\).
Ответ: \(3\pi m^2\).