ГДЗ Контрольная работа по геометрии №2: «Цилиндр, конус, шар» 11 класс. I вариант №1 Условие: Площадь осевого сечения...

Контрольная работа по геометрии №2: «Цилиндр, конус, шар»

11 класс. I вариант

№1

Условие: Площадь осевого сечения цилиндра равна\(20 см^2\), а высота цилиндра равна 5 см. Найдите радиус основания.

Решение:

1. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте h и диаметру основания\(d = 2R\).
2. Формула площади осевого сечения:\(S = 2R \cdot h\).
3. Подставим известные значения:\(20 = 2R \cdot 5\).
4. \(20 = 10R \rightarrow R = 2 см\).

Ответ: 2 см.

№2

Условие: Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом\(45^\circ\)и равна 4 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Решение:

1. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей\(l = 4 см\), и углом при основании\(45^\circ\).
2. Угол при вершине сечения равен\(180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ\). Значит, сечение — прямоугольный равнобедренный треугольник.
3. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:\(S = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(90^\circ)\).
4. \(S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1 = 8 см^2\).

Ответ: \(8 см^2\).

№3

Условие: Найдите радиус шара, если расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 7 см, а радиус сечения равен\(\sqrt{15} см\).

Решение:

1. Радиус шара R, расстояние до плоскости d и радиус сечения r связаны теоремой Пифагора:\(R^2 = d^2 + r^2\).
2. Подставим значения:\(R^2 = 7^2 + (\sqrt{15})^2 = 49 + 15 = 64\).
3. \(R = \sqrt{64} = 8 см\).

Ответ: 8 см.

№4

Условие: Радиус основания конуса равен 4 см, а его высота равна 8 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 5 см от его вершины.

Решение:

1. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, является кругом. Радиус сечения r и радиус основания R относятся так же, как расстояния от вершины до плоскостей:\(\frac{r}{R} = \frac{h_{сеч}}{H}\).
2. Дано:\(R = 4\),\(H = 8\),\(h_{сеч} = 5\).
3. Находим радиус сечения:\(r = \frac{R \cdot h_{сеч}}{H} = \frac{4 \cdot 5}{8} = 2.5 см\).
4. Площадь сечения:\(S = \pi r^2 = \pi \cdot (2.5)^2 = 6.25\pi см^2\).

Ответ: \(6.25\pi см^2\).

№5

Условие: Радиусы оснований усечённого конуса равны 10 см и 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом\(60^\circ\). Найдите площадь осевого сечения конуса.

Решение:

1. Осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция с основаниями\(a = 2R = 20 см\)и\(b = 2r = 12 см\).
2. Проведем высоту трапеции h. Отрезок на большем основании равен\(x = \frac{a - b}{2} = \frac{20 - 12}{2} = 4 см\).
3. Из прямоугольного треугольника (образованного высотой, образующей и отрезком x):\(h = x \cdot tg(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3} см\).
4. Площадь трапеции:\(S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{20 + 12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 16 \cdot 4\sqrt{3} = 64\sqrt{3} см^2\).

Ответ: \(64\sqrt{3} см^2\).

№6*

Условие: Радиусы шаров равны 5 см и 6 см, а расстояние между их центрами 8 см. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Решение:

1. Линия пересечения двух сфер — это окружность. Пусть её радиус равен r. Центры шаров\(O_1\)и\(O_2\), расстояние\(O_1O_2 = 8\). Радиусы\(R_1 = 5\),\(R_2 = 6\).
2. В треугольнике со сторонами\(5, 6, 8\)радиус r является высотой, проведенной к стороне 8.
3. Найдем площадь этого треугольника по формуле Герона:\(p = \frac{5+6+8}{2} = 9.5\).

\(S = \sqrt{9.5(9.5-5)(9.5-6)(9.5-8)} = \sqrt{9.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5} = \sqrt{\frac{19}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{3\sqrt{399}}{4}\).

4. С другой стороны,\(S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot r = 4r\).
5. \(4r = \frac{3\sqrt{399}}{4} \rightarrow r = \frac{3\sqrt{399}}{16}\).
6. Длина линии (окружности):\(L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{3\sqrt{399}}{16} = \frac{3\pi\sqrt{399}}{8} \approx 7.49\pi см\).

Ответ: \(\frac{3\pi\sqrt{399}}{8} см\).