ГДЗ 2 вариант Задание 1 Условие: Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 4 см. Найдите площадь по...

2 вариант

Задание 1

Условие: Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 4 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

1. Пусть h — высота цилиндра,\(d = 2r\)— диаметр основания. Так как осевое сечение — квадрат, то\(h = 2r\).
2. По теореме Пифагора для диагонали квадрата D:

\(D^2 = h^2 + (2r)^2 \rightarrow 4^2 = (2r)^2 + (2r)^2 \rightarrow 16 = 8r^2 \rightarrow r^2 = 2\), значит\(r = \sqrt{2}\)см.

3. Высота\(h = 2r = 2\sqrt{2}\)см.
4. Площадь полной поверхности цилиндра:

\(S_{полн} = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot \sqrt{2}(\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 2\pi \cdot 3 \cdot 2 = 12\pi\)см².

Ответ: \(12\pi\)см².

Задание 2

Условие: Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом\(30^\circ\). Найдите:
а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен\(60^\circ\);
б) площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

1. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом (\(r=6\)) и образующей (l):

\(l = \frac{r}{\cos 30^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\)см.

2. а) Сечение — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами\(l = 4\sqrt{3}\)и углом при вершине\(60^\circ\). Значит, это равносторонний треугольник.

\(S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\)см².

3. б) Площадь боковой поверхности:

\(S_{бок} = \pi rl = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\pi\)см².

Ответ: а)\(12\sqrt{3}\)см²; б)\(24\sqrt{3}\pi\)см².

Задание 3

Условие: Диаметр шара равен 4 м. Через конец диаметра проведена плоскость под углом\(30^\circ\)к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Решение:

1. Сечение шара плоскостью — круг. Радиус шара\(R = \frac{4}{2} = 2\)м.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — диаметр шара (\(D=4\)), один из катетов — диаметр сечения (\(d_{сеч}\)), а угол между ними\(30^\circ\).
3. \(d_{сеч} = D \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\)м.
4. Радиус сечения r_{сеч} = \frac{d_{сеч}}{2} = √(3)м.
5. Площадь сечения:\(S = \pi r_{сеч}^2 = \pi \cdot (\sqrt{3})^2 = 3\pi\)м².

Ответ: \(3\pi\)м².

Контрольная работа № 2 «Объёмы тел»

Задание 1 (1 вариант)

Условие: Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол, равный\(60^\circ\). Найдите отношение объёмов конуса и шара.

Решение:

1. Пусть H — высота конуса, тогда радиус шара\(R_{ш} = \frac{H}{2}\). Объём шара:\(V_{ш} = \frac{4}{3}\pi R_{ш}^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{H}{2})^3 = \frac{\pi H^3}{6}\).
2. В конусе:\(r_{к} = \frac{H}{tg 60^\circ} = \frac{H}{\sqrt{3}}\). Объём конуса:\(V_{к} = \frac{1}{3}\pi r_{к}^2 H = \frac{1}{3}\pi (\frac{H}{\sqrt{3}})^2 H = \frac{\pi H^3}{9}\).
3. Отношение:\(\frac{V_{к}}{V_{ш}} = \frac{\pi H^\frac{3}{9}}{\pi H^\frac{3}{6}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).

Ответ: \(2:3\).

Задание 2 (1 вариант)

Условие: Объём цилиндра равен\(96\pi\)см³, площадь его осевого сечения 48 см². Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.

Решение:

1. \(V = \pi r^2 h = 96\pi \rightarrow r^2 h = 96\). Площадь сечения\(S_{сеч} = 2rh = 48 \rightarrow rh = 24\).
2. Разделим первое на второе:\(\frac{r^2 h}{rh} = \frac{96}{24} \rightarrow r = 4\)см. Тогда\(h = \frac{24}{4} = 6\)см.
3. Радиус описанной сферы\(R_{сф}\)равен половине диагонали осевого сечения:

\(R_{сф} = \frac{1}{2}\sqrt{(2r)^2 + h^2} = \frac{1}{2}\sqrt{8^2 + 6^2} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5\)см.

4. Площадь сферы:\(S = 4\pi R_{сф}^2 = 4\pi \cdot 5^2 = 100\pi\)см².

Ответ: \(100\pi\)см².