ГДЗ Теоретическая справка Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заклю...

Задачи для решения

Задача 1

Дано:\(\cup AB = 80^\circ\)Найти:\(\angle BAC\)

Решение: По теореме об угле между касательной и хордой:

\[\angle BAC = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ\]

Ответ: \(40^\circ\)

Задача 2

Дано:\(\angle KOM = 100^\circ\)(центральный угол)

Найти:\(\angle MKL\)

Решение:

1. Центральный угол\(\angle KOM\)равен градусной мере дуги, на которую он опирается:\(\cup KM = \angle KOM = 100^\circ\).
2. Угол\(\angle MKL\)образован касательной KL и хордой KM . Его величина равна половине дуги KM :

\[\angle MKL = \frac{1}{2} \cup KM = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ\]

Ответ: \(50^\circ\)

Задача 3

Дано:\(\angle PMK = 46^\circ\)(вписанный угол), PK — диаметр (так как проходит через центр O).

Найти:\(\angle MKL\)

Решение:

1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит,\(\cup PK = 2 \cdot \angle PMK\). Однако, здесь\(\angle PMK\)опирается на дугу РК только если М лежит на окружности.
2. Заметим, что\(\angle MKL\)равен вписанному углу, опирающемуся на дугу MK . Таким углом является\(\angle MPK\).
3. В треугольнике\(\triangle PMK\):\(\angle PMK = 90^\circ\)(опирается на диаметр PK ). Тогда\(\angle MPK = 90^\circ - \angle MKP\). Уточнение по рисунку: Если\(\angle PMK = 46^\circ\)— это вписанный угол, опирающийся на дугу PK , то это невозможно для диаметра. Вероятно,\(\angle MPK = 46^\circ\)или\(\angle PMK\)— это угол в треугольнике. Классическое решение: Угол между касательной и хордой\(\angle MKL\)равен вписанному углу\(\angle MPK\), опирающемуся на ту же дугу MK . В прямоугольном\(\triangle PMK\)(где\(\angle PMK = 90^\circ\)):

\[\angle MPK = 90^\circ - \angle MKP\].

Если дано\(\angle PMK = 46^\circ\)как опечатка вместо\(\angle MPK\), то\(\angle MKL = 46^\circ\). Если же\(\angle PMK\)— угол при вершине M в треугольнике, то\(\angle MPK = 180 - 90 - 46 = 44^\circ\). Примем стандартную интерпретацию:\(\angle MKL = \angle MPK = 46^\circ\)(если M и P — точки на окружности).

Ответ: \(46^\circ\)

Задача 4

Доказать:\(\triangle ABQ \sim \triangle ABP\)Доказательство:

1. \(\angle A\)— общий для обоих треугольников.
2. \(\angle ABQ\)— угол между касательной AB и хордой BQ . Он равен вписанному углу, опирающемуся на дугу BQ , то есть\(\angle BPQ\).
3. Рассмотрим\(\triangle ABQ\)и\(\triangle APB\). У них:

• \(\angle A\)— общий.
• \(\angle ABQ = \angle APB\)(по свойству угла между касательной и хордой).

4. Следовательно,\(\triangle ABQ \sim \triangle APB\)по двум углам (первый признак подобия).

Что и требовалось доказать.