ГДЗ 1 В треугольнике ABC проведена биссектриса AK . Найдите градусную меру угла B , если angle C = 16circ и AK = CK ....

1

В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AK\). Найдите градусную меру угла \(B\), если \(\angle C = 16^\circ\) и \(AK = CK\).

1. В треугольнике \(AKC\) стороны \(AK = CK\), следовательно, он равнобедренный. Углы при основании равны: \(\angle KAC = \angle C = 16^\circ\).
2. Так как \(AK\) — биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAK = \angle KAC = 16^\circ\).
3. Весь угол \(A = \angle BAK + \angle KAC = 16^\circ + 16^\circ = 32^\circ\).
4. Сумма углов в треугольнике \(ABC\) равна \(180^\circ\):

\[\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (32^\circ + 16^\circ) = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ\]

2

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен \(72^\circ\). Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов составляет \(90^\circ\). Пусть второй острый угол равен \(x\):

\[x = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ\]

3

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 12 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Воспользуемся теоремой Пифагора \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(a = 12\) — известный катет, \(c = 20\) — гипотенуза:

\[b^2 = c^2 - a^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256\]

\[b = \sqrt{256} = 16\]

4

Сторона равностороннего треугольника равна \(16\sqrt{3}\). Найдите биссектрису этого треугольника.

В равностороннем треугольнике биссектриса также является высотой и медианой. Высота \(h\) вычисляется по формуле \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), где \(a\) — сторона треугольника:

\[h = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 8 \cdot 3 = 24\]

5

Медиана равностороннего треугольника равна \(8\sqrt{3}\). Найдите сторону этого треугольника.

В равностороннем треугольнике медиана совпадает с высотой. Используем формулу \(m = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), где \(m\) — медиана, \(a\) — искомая сторона:

\[8\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

\[8 = \frac{a}{2} \implies a = 16\]

6

В треугольнике \(ABC\) проведена медиана \(BM\). Найдите градусную меру угла \(A\), если \(\angle C = 61^\circ\) и \(BM = AM = MC\).

1. Так как медиана \(BM\) равна половине стороны \(AC\) (\(BM = AM = MC\)), то треугольник \(ABC\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(B\) (\(\angle ABC = 90^\circ\)).
2. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \(90^\circ\):

\[\angle A = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 61^\circ = 29^\circ\]