ГДЗ 3. Конец В отрезка AB лежит в плоскости alpha , C — внутренняя точка отрезка AB. Через A и C проведены параллельн...

3. Конец B отрезка AB лежит в плоскости \(\alpha\), C — внутренняя точка отрезка AB. Через A и C проведены параллельные прямые, пересекающие \(\alpha\) соответственно в точках \(A_1\) и \(C_1\). Найти длину отрезка \(CC_1\), если \(AA_1 = 15\), \(AC : CB = 2 : 3\).

Решение:

1. Так как прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны, они задают плоскость. Точки \(A\), \(C\) и \(B\) лежат на одной прямой, а точки \(A_1\), \(C_1\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\). Таким образом, мы получаем два подобных треугольника в плоскости, проходящей через прямые \(AA_1\) и \(CC_1\).
2. Рассмотрим треугольники \(\triangle BCC_1\) и \(\triangle BAA_1\):

• Угол \(\angle B\) — общий для обоих треугольников.
• \(\angle BCC_1 = \angle BAA_1\) как соответственные углы при параллельных прямых \(CC_1 \parallel AA_1\) и секущей \(AB\).
• Следовательно, \(\triangle BCC_1 \sim \triangle BAA_1\) по первому признаку подобия (по двум углам).

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

\[\frac{CC_1}{AA_1} = \frac{BC}{BA}\]

4. По условию \(AC : CB = 2 : 3\). Пусть коэффициент пропорциональности равен \(x\), тогда \(AC = 2x\), а \(CB = 3x\).

Длина всего отрезка \(BA = BC + AC = 3x + 2x = 5x\).

5. Подставим значения в формулу подобия:

\[\frac{CC_1}{15} = \frac{3x}{5x}\]

\[\frac{CC_1}{15} = \frac{3}{5}\]

\[CC_1 = \frac{15 \cdot 3}{5} = 3 \cdot 3 = 9\]