ГДЗ 4. Для функции y = f(x) найдите первообразную, если f(x) = 5/x2 - 1 . Решение: Для нахождения общего вида первооб...

4. Для функции \(y = f(x)\) найдите первообразную, если \(f(x) = \frac{5}{x^2} - 1\).

Решение:

Для нахождения общего вида первообразной \(F(x)\) воспользуемся правилами интегрирования и таблицей первообразных.

1. Перепишем функцию в более удобном для интегрирования виде:

\[f(x) = 5x^{-2} - 1\]

2. Найдём первообразную для каждого слагаемого по отдельности:

• Для степенной функции \(x^n\) первообразная имеет вид \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\). В нашем случае для \(5x^{-2}\) получаем:

\[5 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -5x^{-1} = -\frac{5}{x}\]

• Для константы \(a\) первообразная имеет вид \(ax\). Для \(-1\) получаем:

\[-1 \cdot x = -x\]

3. Запишем общий вид первообразной, добавив произвольную постоянную \(C\):

\[F(x) = -\frac{5}{x} - x + C\]