ГДЗ 3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту (см. рис. 109). Высота цилиндра равна радиусу основания. Площад...

Решение:

Пусть \(R\) — радиус общего основания цилиндра и конуса, а \(H\) — их общая высота. По условию задачи высота равна радиусу основания:

\[H = R\]

1. Найдём образующую конуса \(L\) .

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей конуса, по теореме Пифагора:

\[L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}\]

2. Используем формулу площади боковой поверхности конуса:

\[S_{бок. кон.} = \pi R L = \pi R \cdot R\sqrt{2} = \pi R^2 \sqrt{2}\]

По условию \(S_{бок. кон.} = 7\sqrt{2}\). Приравняем значения:

\[\pi R^2 \sqrt{2} = 7\sqrt{2}\]

Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\):

\[\pi R^2 = 7\]

3. Найдём площадь боковой поверхности цилиндра по формуле:

\[S_{бок. цил.} = 2\pi R H\]

Так как \(H = R\), подставим это в формулу:

\[S_{бок. цил.} = 2\pi R \cdot R = 2\pi R^2\]

Подставим ранее найденное значение \(\pi R^2 = 7\):

\[S_{бок. цил.} = 2 \cdot 7 = 14\]