ГДЗ 5. Какой угол образует с осью ОХ касательная, проведённая к графику функции y = √(5 - 2x) в точке с абсциссой 0,5...
- Какой угол образует с осью OX касательная, проведённая к графику функции \(y = \sqrt{5 - 2x}\) в точке с абсциссой 0,5.
Решение:
Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке \(x_0\) равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси \(OX\):
\[\tan \alpha = f'(x_0)\]
где \(\alpha\) — искомый угол.
- Найдём производную функции \(f(x) = \sqrt{5 - 2x}\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:
\[f'(x) = (\sqrt{5 - 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{5 - 2x}} \cdot (5 - 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{5 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{5 - 2x}}\]
- Вычислим значение производной в заданной точке касания \(x_0 = 0,5\):
\[f'(0,5) = -\frac{1}{\sqrt{5 - 2 \cdot 0,5}} = -\frac{1}{\sqrt{5 - 1}} = -\frac{1}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2} = -0,5\]
- Найдём угол \(\alpha\), зная его тангенс:
\[\tan \alpha = -0,5\]
\[\alpha = \text{arctg}(-0,5) = \pi - \text{arctg}(0,5)\]
В градусах это значение примерно равно:
\[\alpha \approx 180^\circ - 26,57^\circ = 153,43^\circ\]
Ответ:
\(\alpha = \pi - \text{arctg}(0,5)\) (или \(\approx 153,43^\circ\))