ГДЗ УПРАЖНЕНИЯ 21. Могут ли три окружности пересекаться в семи точках? Две окружности могут иметь не более 2 точек пе...

УПРАЖНЕНИЯ

21. Могут ли три окружности пересекаться в семи точках?

Две окружности могут иметь не более 2 точек пересечения. При наличии трёх окружностей количество пар окружностей равно 3 (первая со второй, первая с третьей, вторая с третьей). Максимальное общее количество точек пересечения равно:

\[3 \times 2 = 6\]

Следовательно, семь точек пересечения получить невозможно.

22. Постройте четыре окружности, которые имеют ровно: а) четыре; б) десять точек пересечения друг с другом.

• а) 4 точки: Можно расположить две пары пересекающихся окружностей так, чтобы окружности из разных пар не пересекались между собой. Каждая пара даст по 2 точки, итого \(2 + 2 = 4\).
• б) 10 точек: Максимальное число точек пересечения для 4 окружностей равно 12 (каждая пара из 6 возможных пересекается в 2 точках). Чтобы получить ровно 10 точек, нужно, чтобы две пары окружностей не пересекались, а касались друг друга (каждое касание уменьшает количество точек на 1 по сравнению с пересечением).

23. В каком наибольшем числе точек могут пересекаться четыре окружности?

Количество пар, которые можно составить из 4 окружностей, равно \(\frac{4 \cdot 3}{2} = 6\). Так как каждая пара может иметь максимум 2 точки пересечения, то наибольшее число точек равно:

\[6 \times 2 = 12\]

24. Постройте центр окружности, проходящей через точки \(A\), \(B\) и \(C\), отмеченные на клетчатой бумаге (рис. 39). Сколько клеток от него до прямой \(BC\)?

Введём систему координат, где левый нижний угол сетки — \((0, 0)\). Тогда координаты точек:
\(A(0; 3)\), \(B(2; 4)\), \(C(5; 4)\).

1. Прямая BC горизонтальна и имеет уравнение \(y = 4\).
2. Серединный перпендикуляр к отрезку BC проходит через его середину \(x = \frac{2+5}{2} = 3,5\).
3. Серединный перпендикуляр к отрезку AB: середина \(M(1; 3,5)\), вектор \(\vec{AB}(2; 1)\). Уравнение перпендикуляра: \(2(x - 1) + 1(y - 3,5) = 0 \rightarrow y = -2x + 5,5\).
4. Найдём точку пересечения (центр \(O\)): при \(x = 3,5\), \(y = -2 \cdot 3,5 + 5,5 = -7 + 5,5 = -1,5\).
5. Расстояние от центра \(O(3,5; -1,5)\) до прямой \(y = 4\) равно:

\[|4 - (-1,5)| = 5,5\]

25. В какой клетке находится центр окружности, описанной вокруг треугольника \(ABC\) на рисунке 40?

Координаты точек на рис. 40: \(A(0; 1)\), \(B(2; 3)\), \(C(5; 2)\).

1. Серединный перпендикуляр к AB: середина \((1; 2)\), наклон AB равен 1, значит наклон перпендикуляра \(-1\). Уравнение: \(y = -x + 3\).
2. Серединный перпендикуляр к BC: середина \((3,5; 2,5)\), наклон BC равен \(\frac{-1}{3}\), значит наклон перпендикуляра 3. Уравнение: \(y - 2,5 = 3(x - 3,5) \rightarrow y = 3x - 8\).
3. Точка пересечения: \(-x + 3 = 3x - 8 \rightarrow 4x = 11 \rightarrow x = 2,75\); \(y = -2,75 + 3 = 0,25\).

Центр находится в точке \((2,75; 0,25)\). Это соответствует 3-му столбцу клеток слева и 1-му ряду снизу.

26. Лежат ли четыре отмеченные на рисунках 41 и 42 точки на одной окружности? Как это проверить?

Чтобы проверить, лежат ли 4 точки на одной окружности, нужно найти центр описанной окружности для любых трёх точек (как точку пересечения серединных перпендикуляров) и проверить, равно ли расстояние от этого центра до четвёртой точки радиусу.

• Рис. 41: Точки \(A(0; 1), B(2; 4), C(5; 3), D(5; 0)\). Расчёты показывают, что расстояния от центра описанной окружности \(\triangle ABC\) до точек \(C\) и \(D\) не равны. Нет.
• Рис. 42: Точки \(A(0; 0), B(0; 2), C(2; 4), D(5; 1)\). Центр для \(A, B, C\) находится в точке \(O(3; 1)\), радиус \(R^{2} = 10\). Расстояние \(OD^{2} = (5-3)^2 + (1-1)^2 = 4 \neq 10\). Нет.

27. Сложите листок бумаги два раза... Можно ли через полученные четыре точки прокола провести окружность? Как вы это объясните?

Да, можно. Линии сгиба являются осями симметрии. При первом сгибе точка \(P\) отражается симметрично относительно первой линии. При втором сгибе обе полученные точки отражаются симметрично относительно второй линии. В итоге образуются 4 точки, равноудалённые от точки пересечения линий сгиба. Эта точка пересечения и будет центром искомой окружности.