ГДЗ №4. Окружность описана около прямоугольного triangle ABC . 1) OC = 5 см. Найдите AB . 2) AB = 6,4 см. Найдите OC ...

№4. Окружность описана около прямоугольного \(\triangle ABC\).

1. \(OC = 5\) см. Найдите AB.
2. \(AB = 6,4\) см. Найдите OC.

Решение:
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Таким образом, гипотенуза \(AB\) является диаметром окружности, а отрезок \(OC\), соединяющий вершину прямого угла с центром, — радиусом. Следовательно, гипотенуза в два раза больше радиуса:

\[AB = 2 \cdot OC\]

1. Если \(OC = 5\) см, то:

\[AB = 2 \cdot 5 = 10 \text{ (см)}\]

2. Если \(AB = 6,4\) см, то:

\[OC = \frac{AB}{2} = \frac{6,4}{2} = 3,2 \text{ (см)}\]

№5. В окружность радиуса \(10\) см вписан прямоугольный треугольник \(\triangle KME\). Вычислите периметр этого треугольника, если сумма его катетов равна \(28\) см.

Решение:

1. Гипотенуза KE прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, совпадает с её диаметром. Зная радиус \(R = 10\) см, найдём гипотенузу:

\[KE = 2 \cdot R = 2 \cdot 10 = 20 \text{ (см)}\]

2. Периметр треугольника \(P\) — это сумма длин всех его сторон (двух катетов и гипотенузы):

\[P = (KM + ME) + KE\]

3. По условию сумма катетов \(KM + ME = 28\) см. Подставим значения в формулу периметра:

\[P = 28 + 20 = 48 \text{ (см)}\]