ГДЗ 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60^circ , а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Н...
- Один из углов прямоугольного треугольника равен \(60^\circ\), а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найдите гипотенузу и этот катет.
Дано:
\(\triangle ABC\) — прямоугольный (\(\angle C = 90^\circ\))
\(\angle B = 60^\circ\)
\(AB + BC = 36\) см (где \(AB\) — гипотенуза, \(BC\) — меньший катет)
Найти:
\(AB\), \(BC\)
Решение:
- Найдём второй острый угол треугольника. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\):
\[\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]
- В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона. Поскольку \(\angle A = 30^\circ < \angle B = 60^\circ\), катет \(BC\), лежащий против угла в \(30^\circ\), является меньшим.
- По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы:
\[BC = \frac{1}{2} AB \implies AB = 2 \cdot BC\]
- Используем условие о сумме гипотенузы и меньшего катета:
\[AB + BC = 36\]
Подставим выражение для \(AB\) через \(BC\):
\[2 \cdot BC + BC = 36\]
\[3 \cdot BC = 36\]
\[BC = 36 : 3 = 12 \text{ (см)}\]
- Вычислим длину гипотенузы:
\[AB = 2 \cdot 12 = 24 \text{ (см)}\]
Ответ:
гипотенуза равна 24 см, меньший катет равен 12 см.