ГДЗ » ГДЗ, ответы, решения » ГДЗ Важно знать: * Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. * Если в...
На главную

ГДЗ Важно знать: * Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. * Если в...

Важно знать:

  • Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
  • Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник — прямоугольный.

Задание 50. Найди неизвестную величину по данным чертежа.

1) Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(CM\) — медиана, \(CH \perp AB\), \(\angle HCA = 40^\circ\). Найти \(x = \angle B\).
Решение:

  1. В прямоугольном \(\triangle ACH\) (\(\angle H = 90^\circ\)): \(\angle A = 90^\circ - \angle HCA = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
  2. Так как \(CM\) — медиана к гипотенузе, то \(CM = AM = MB\).
  3. В равнобедренном \(\triangle AMC\) (\(AM = CM\)) углы при основании равны: \(\angle ACM = \angle A = 50^\circ\).
  4. \(\angle MCB = \angle ACB - \angle ACM = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).
  5. В равнобедренном \(\triangle CMB\) (\(CM = MB\)): \(x = \angle B = \angle MCB = 40^\circ\).

Ответ: \(40^\circ\).

2) Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(CM\) — медиана, \(CL\) — биссектриса, \(\angle MCL = 30^\circ\). Найти \(x = \angle A\).
Решение:

  1. Пусть \(\angle ACM = \alpha\). Тогда \(\angle ACL = \alpha + 30^\circ\).
  2. Так как \(CL\) — биссектриса, то \(\angle ACB = 2 \cdot \angle ACL = 2(\alpha + 30^\circ) = 90^\circ\).
  3. \(2\alpha + 60^\circ = 90^\circ \Rightarrow 2\alpha = 30^\circ \Rightarrow \alpha = 15^\circ\).
  4. Так как \(CM\) — медиана к гипотенузе, то \(CM = AM\), значит \(\triangle AMC\) — равнобедренный и \(x = \angle A = \angle ACM = 15^\circ\).

Ответ: \(15^\circ\).

3) Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle B = 90^\circ\), \(BM\) — медиана, \(BH \perp AC\), \(\angle HBC = 20^\circ\). Найти \(x = \angle A\).
Решение:

  1. В прямоугольном \(\triangle BHC\): \(\angle C = 90^\circ - \angle HBC = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\).
  2. В прямоугольном \(\triangle ABC\): \(x = \angle A = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\).

Ответ: \(20^\circ\).

4) Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AB = 24\), \(CH \perp AB\), \(CH = 6\). Найти \(x = \angle B\).
Решение:

  1. Проведем медиану \(CM\) к гипотенузе: \(CM = \frac{1}{2} AB = 12\).
  2. В прямоугольном \(\triangle CHM\) катет \(CH = 6\) в два раза меньше гипотенузы \(CM = 12\), значит \(\angle CMH = 30^\circ\).
  3. \(\angle CMH\) — внешний угол равнобедренного \(\triangle CMB\) (\(CM = MB\)), поэтому \(\angle CMH = 2x\).
  4. \(2x = 30^\circ \Rightarrow x = 15^\circ\).

Ответ: \(15^\circ\).

5) Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle A = 90^\circ\), \(\angle B = 25^\circ\), \(AK = 7\), \(\angle AKC = 50^\circ\). Найти \(x = BK\).
Решение:

  1. \(\angle AKC\) — внешний угол \(\triangle ABK\), значит \(\angle BAK = \angle AKC - \angle B = 50^\circ - 25^\circ = 25^\circ\).
  2. Так как \(\angle BAK = \angle B = 25^\circ\), то \(\triangle ABK\) — равнобедренный, и \(x = BK = AK = 7\).

Ответ: \(7\).

6) Дано: \(M\) — середина \(AC\), \(DM \perp AB\), \(AN = ND = 2\), \(\angle C = 30^\circ\). Найти \(x = AC\).
Решение:

  1. Из контекста темы (прямоугольные треугольники) следует, что \(\angle B = 90^\circ\). Тогда \(AB = AC \cdot \sin 30^\circ = \frac{x}{2}\).
  2. \(DM \perp AB\) и \(CB \perp AB\), значит \(DM \parallel CB\). Так как \(M\) — середина \(AC\), то \(DM\) — средняя линия \(\triangle ABC\).
  3. Тогда \(D\) — середина \(AB\). \(AD = AN + ND = 2 + 2 = 4\). Следовательно, \(AB = 2 \cdot AD = 8\).
  4. \(8 = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 16\).

Ответ: \(16\).

7) Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(CL \perp AB = 8\), \(K\) — середина \(AB\), \(AC = AK\). Найти \(x = LB\).
Решение:

  1. \(CK\) — медиана к гипотенузе, \(CK = AK = KB\). Так как \(AC = AK\), то \(\triangle ACK\) — равносторонний, \(\angle A = 60^\circ\).
  2. В \(\triangle ABC\): \(\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
  3. В \(\triangle BCL\) (\(\angle L = 90^\circ\)): \(BC = \frac{CL}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{0,5} = 16\).
  4. По теореме Пифагора: \(x = LB = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}\).

Ответ: \(8\sqrt{3}\).

8) Дано: \(AC = 10\), \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle B = 45^\circ\). Найти \(x = AB\).
Решение:

  1. Проведем высоту \(CH \perp AB\). В \(\triangle ACH\): \(AH = 10 \cdot \cos 60^\circ = 5\), \(CH = 10 \cdot \sin 60^\circ = 5\sqrt{3}\).
  2. В \(\triangle BCH\) (\(\angle B = 45^\circ\)): \(HB = CH = 5\sqrt{3}\).
  3. \(x = AB = AH + HB = 5 + 5\sqrt{3}\).

Ответ: \(5 + 5\sqrt{3}\).

9) Дано: \(M\) — середина \(AC\), \(P\) — середина \(BM\), \(\angle ABM = 15^\circ\), \(\angle BAC = 45^\circ\). Найти \(x = \angle PAC\).
Решение:

  1. В \(\triangle ABM\): \(\angle AMB = 180^\circ - (45^\circ + 15^\circ) = 120^\circ\). По теореме синусов \(AM = BM \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 45^\circ}\).
  2. В \(\triangle APM\): \(\angle AMP = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\), \(PM = \frac{1}{2} BM\).
  3. Используя соотношения в треугольнике, находим \(\tan x = \frac{PM \sin 60^\circ}{AM - PM \cos 60^\circ} = 2 + \sqrt{3}\), что соответствует углу \(75^\circ\).

Ответ: \(75^\circ\).

Сообщить об ошибке
ГДЗ по фото