Прямоугольный треугольник. Построение треугольника по трём элементам

Вариант 1

№1

Условие: В остроугольном треугольнике $\Delta MNP$ биссектриса угла $\angle M$ пересекает высоту $NK$ в точке $O$, причём $OK = 9\,\text{см}$. Найдите расстояние от точки $O$ до прямой $MN$.

Решение:

1. Высота $NK$ проведена к стороне $MP$, следовательно, $NK \perp MP$. Точка $K$ является основанием перпендикуляра, опущенного из $N$ на $MP$.
2. Расстояние от точки $O$ до прямой $MP$ — это длина перпендикуляра $OK$, так как $O$ лежит на высоте $NK$, которая перпендикулярна $MP$. По условию $OK = 9\,\text{см}$.
3. Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle M$. По свойству биссектрисы угла, любая её точка равноудалена от сторон этого угла.
4. Сторонами угла $M$ являются прямые $MN$ и $MP$. Следовательно, расстояние от точки $O$ до прямой $MN$ равно расстоянию от точки $O$ до прямой $MP$.
5. Таким образом, искомое расстояние равно $9\,\text{см}$.

№2

Условие: Один из углов прямоугольного треугольника равен $60^\circ$, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна $42\,\text{см}$. Найдите гипотенузу.

Решение:

1. Пусть в прямоугольном треугольнике один острый угол равен $60^\circ$, тогда второй острый угол равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
2. Меньший катет всегда лежит против меньшего угла. Обозначим длину катета, лежащего против угла $30^\circ$, как $x$.
3. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Значит, гипотенуза равна $2x$.
4. По условию сумма гипотенузы и меньшего катета составляет $42\,\text{см}$:
   $$ 2x + x = 42 $$
   $$ 3x = 42 $$
   $$ x = 14\,\text{см (меньший катет)} $$
5. Гипотенуза равна $2x = 2 \cdot 14 = 28\,\text{см}$.

№3

Условие: Найти острые углы $\Delta ABC$ по чертежу.

Решение:

1. На чертеже изображен прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle C = 90^\circ$.
2. Внешний угол при вершине $B$ равен $150^\circ$.
3. Внутренний угол $\angle ABC$ и внешний угол при этой же вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$:
   $$ \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $$
4. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$:
   $$ \angle BAC = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $$

№4

Условие: Высота остроугольного треугольника $\Delta ABC$ образует со сторонами, выходящими из той же вершины, углы $18^\circ$ и $46^\circ$. Найдите углы $\Delta ABC$.

Решение:

1. Пусть высота $BH$ проведена из вершины $B$ к стороне $AC$. Она делит угол $\angle B$ на два угла: $\angle ABH = 18^\circ$ и $\angle CBH = 46^\circ$.
2. Весь угол $\angle B = 18^\circ + 46^\circ = 64^\circ$.
3. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $\angle AHB = 90^\circ$):
   $$ \angle A = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ $$
4. В прямоугольном треугольнике $CBH$ (где $\angle CHB = 90^\circ$):
   $$ \angle C = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - 46^\circ = 44^\circ $$

№5

Условие: Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Решение: Пусть даны отрезок $c$ (гипотенуза) и угол $\alpha$ (острый угол). Алгоритм построения:

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. От луча с началом в точке $A$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$.
3. На одной из сторон полученного угла отложим отрезок $AB$, равный данной гипотенузе $c$.
4. Из точки $B$ опустим перпендикуляр на вторую сторону угла. Обозначим точку пересечения как $C$.
5. Полученный треугольник $ABC$ является искомым: он прямоугольный (по построению $BC \perp AC$), имеет гипотенузу $AB = c$ и острый угол $\angle A = \alpha$.

№6*

Условие: В треугольнике $\Delta ABC$ $\angle B = 90^\circ$, биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle C$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $\angle AOC$.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$:
   $$ \angle A + \angle C = 90^\circ $$
2. Так как $AO$ и $CO$ — биссектрисы, то углы в треугольнике $AOC$ при основании $AC$ равны:
   $$ \angle OAC = \frac{1}{2} \angle A, \quad \angle OCA = \frac{1}{2} \angle C $$
3. Сумма углов в треугольнике $AOC$ равна $180^\circ$:
   $$ \angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle C) $$
4. Подставим значение суммы углов $A$ и $C$:
   $$ \angle AOC = 180^\circ - \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ $$