Задание 4

Ваня может покрасить забор за 3 ч, а Даня — за 6 ч. За сколько часов покрасят этот забор Ваня и Даня, работая вместе?

Решение:

Примем всю работу (покраску одного забора) за единицу ($1$).

1. Найдём производительность Вани (какую часть забора он красит за 1 час):
   $$ P_1 = 1 : 3 = \frac{1}{3} $$
2. Найдём производительность Дани:
   $$ P_2 = 1 : 6 = \frac{1}{6} $$
3. Найдём их общую производительность при совместной работе:
   $$ P_{\text{общ}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$
4. Найдём время, за которое они покрасят забор вместе:
   $$ t = 1 : \frac{1}{2} = 2\,\text{ч} $$

Задание 5

Если открыть одновременно обе трубы — полимерную и металлическую, то пустой бассейн наполнится за 3 ч. Одна полимерная труба наполняет пустой бассейн за 4 ч. За сколько часов наполняет пустой бассейн одна металлическая труба?

Решение:

Примем объём бассейна за единицу ($1$).

1. Найдём общую производительность двух труб (какую часть бассейна они наполняют за 1 час):
   $$ P_{\text{общ}} = 1 : 3 = \frac{1}{3} $$
2. Найдём производительность полимерной трубы:
   $$ P_{\text{пол}} = 1 : 4 = \frac{1}{4} $$
3. Найдём производительность металлической трубы как разность общей производительности и производительности полимерной трубы:
   $$ P_{\text{мет}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12} $$
4. Найдём время, за которое металлическая труба наполнит бассейн самостоятельно:
   $$ t_{\text{мет}} = 1 : \frac{1}{12} = 12\,\text{ч} $$