Контрольная работа № 4

Часть 2

Задание 3

Условие: Прямоугольный треугольник с катетами $12\,\text{см}$ и $16\,\text{см}$ вписан в окружность. Найдите её радиус.

Решение:

1. Любой прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, опирается своим прямым углом на диаметр. Таким образом, гипотенуза треугольника является диаметром описанной окружности.
2. Вычислим длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:
   $$ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\,\text{см} $$
3. Радиус $R$ описанной окружности равен половине диаметра (гипотенузы):
   $$ R = \frac{c}{2} = \frac{20}{2} = 10\,\text{см} $$

Задание 4

Условие: Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Найдите длину отрезка $AE$, если он в $2$ раза меньше отрезка $BE$, $CE = 8$, $DE = 9$.

Решение:

1. Пусть длина отрезка $AE$ равна $x$. Тогда, согласно условию, $BE = 2x$.
2. Воспользуемся свойством пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:
   $$ AE \cdot BE = CE \cdot DE $$
3. Подставим известные значения и решим уравнение:
   $$ x \cdot 2x = 8 \cdot 9 $$
   $$ 2x^2 = 72 $$
   $$ x^2 = 36 $$
   $$ x = 6 \quad (\text{так как длина не может быть отрицательной}) $$
4. Таким образом, $AE = 6$.

Часть 3

Задание 5

Условие: На рисунке $AB$ — диаметр окружности, $MK \perp AB$. Найдите длину хорды $AM$, если $AK = 9\,\text{см}$, $BK = 3\,\text{см}$.

Решение:

1. Угол $\angle AMB$ является вписанным и опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\angle AMB = 90^\circ$. Треугольник $AMB$ — прямоугольный.
2. Отрезок $MK$ является высотой прямоугольного треугольника $AMB$, опущенной на гипотенузу $AB$.
3. Найдем длину гипотенузы $AB$:
   $$ AB = AK + BK = 9 + 3 = 12\,\text{см} $$
4. По метрическому соотношению в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:
   $$ AM^2 = AB \cdot AK $$
   $$ AM^2 = 12 \cdot 9 = 108 $$
   $$ AM = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\,\text{см} $$

Задание 6

Условие: Треугольник $DBC$ — равнобедренный с основанием $DC$. Его периметр равен $34\,\text{см}$, $BD = 10\,\text{см}$. Найдите длину отрезка $BN$ ($N$ — точка касания вписанной окружности со стороной $DB$).

Решение:

1. Так как треугольник $DBC$ равнобедренный с основанием $DC$, его боковые стороны равны: $BC = BD = 10\,\text{см}$.
2. Найдем длину основания $DC$ через периметр:
   $$ P = BD + BC + DC \Rightarrow 34 = 10 + 10 + DC \Rightarrow DC = 14\,\text{см} $$
3. Пусть $K$ — точка касания окружности с основанием $DC$. В равнобедренном треугольнике точка касания вписанной окружности делит основание пополам:
   $$ DK = CK = \frac{DC}{2} = \frac{14}{2} = 7\,\text{см} $$
4. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны. Для вершины $D$ это отрезки $DN$ и $DK$:
   $$ DN = DK = 7\,\text{см} $$
5. Вычислим длину искомого отрезка $BN$:
   $$ BN = BD - DN = 10 - 7 = 3\,\text{см} $$