ГДЗ Задумано двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число еще раз. Оказалось, что пол...

Задумано двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число еще раз. Оказалось, что получившееся четырехзначное число делится на 11. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Решение:

1. Пусть задуманное двузначное число равно $x$. По условию оно делится на 5.
2. Когда к числу $x$ справа приписывают такое же число, получается четырехзначное число $N$. Математически операцию приписывания такого же двузначного числа можно выразить так:
   $$ N = x \cdot 100 + x = 101 \cdot x $$
   (Например, если $x = 15$, то $N = 1515 = 15 \cdot 100 + 15$).
3. По условию полученное число $N$ делится на 11. Значит, произведение $101 \cdot x$ должно делиться на 11.
4. Проверим число 101 на делимость на 11:
   $$ 101 = 11 \cdot 9 + 2 $$
   Число 101 не делится на 11 без остатка. Следовательно, чтобы все произведение $101 \cdot x$ делилось на 11, на 11 должно делиться само число $x$.
5. Таким образом, искомое число $x$ должно одновременно удовлетворять трем условиям:
   • быть двузначным ($10 \le x \le 99$);
   • делиться на 5;
   • делиться на 11.
6. Так как числа 5 и 11 являются взаимно простыми, число $x$ должно делиться на их произведение: $5 \cdot 11 = 55$.
7. Найдем двузначные числа, кратные 55. Это только само число 55 (следующее число $55 \cdot 2 = 110$ уже трехзначное).

Проверка:

• Задуманное число 55 — двузначное и делится на 5.
• Приписываем его еще раз: 5555.
• Проверяем делимость на 11: $5555 : 11 = 505$. Условие выполняется.

Ответ: 55.