ГДЗ Около окружности описана прямоугольная трапеция. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки 8 см и 32...
Около окружности описана прямоугольная трапеция. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки 8 см и 32 см. Найди длины оснований и площадь трапеции.
Дано:
- Прямоугольная трапеция $ABCD$ (пусть $\angle A = \angle B = 90^\circ$);
- Окружность вписана в трапецию;
- Точка касания $K$ на большей боковой стороне $CD$ делит её на отрезки $CK = 8\,\text{см}$ и $KD = 32\,\text{см}$.
Найти:
- Основания $BC$ и $AD$;
- Площадь трапеции $S$.
Решение:
- Свойство отрезков касательных:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Обозначим точки касания на сторонах $BC, CD, AD, AB$ как $M, K, N, P$ соответственно.
- Из вершины $C$: $CM = CK = 8\,\text{см}$.
- Из вершины $D$: $DN = KD = 32\,\text{см}$.
- Радиус вписанной окружности:
В прямоугольной трапеции высота равна диаметру вписанной окружности ($h = 2r$). Отрезки от вершин прямых углов до точек касания равны радиусу: $BM = BP = AN = AP = r$.
Рассмотрим треугольник $COD$, где $O$ — центр окружности. Так как $CO$ и $DO$ — биссектрисы углов $C$ и $D$, сумма которых $180^\circ$, то $\angle COD = 90^\circ$. Отрезок $OK$ — радиус и высота этого прямоугольного треугольника.
По свойству высоты, опущенной на гипотенузу:
$$
OK^2 = CK \cdot KD
$$
$$
r^2 = 8 \cdot 32 = 256
$$
$$
r = \sqrt{256} = 16\,\text{см}
$$
- Длины оснований:
- Меньшее основание: $BC = BM + MC = r + 8 = 16 + 8 = 24\,\text{см}$.
- Большее основание: $AD = AN + ND = r + 32 = 16 + 32 = 48\,\text{см}$.
- Площадь трапеции:
Высота трапеции $h = AB = 2r = 2 \cdot 16 = 32\,\text{см}$.
$$
S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{24 + 48}{2} \cdot 32 = 36 \cdot 32 = 1152\,\text{см}^2
$$
Согласно условию, запишем ответы в порядке возрастания: $24$, $48$, $1152$.
Ответ: 24;48;1152