ГДЗ 4. Точки M и N принадлежат соответственно граням (SBC) и (SAC) тетраэдра SABC. Постройте проекцию прямой MN на пл...

4. Точки M и N принадлежат соответственно граням (SBC) и (SAC) тетраэдра SABC. Постройте проекцию прямой MN на плоскость (ABC).

Для построения ортогональной проекции прямой $MN$ на плоскость основания $(ABC)$ выполним следующие действия:

1. Опустим из точек $M$ и $N$ перпендикуляры на плоскость $(ABC)$. Пусть это будут отрезки $MM_1$ и $NN_1$, где точки $M_1$ и $N_1$ лежат в плоскости $(ABC)$.
2. Для практического построения на чертеже можно сначала провести высоту тетраэдра $SO \perp (ABC)$, а затем через точки $M$ и $N$ провести прямые, параллельные $SO$, до пересечения с плоскостью $(ABC)$ в точках $M_1$ и $N_1$ соответственно.
3. Прямая, проходящая через полученные точки $M_1$ и $N_1$, и будет искомой проекцией прямой $MN$ на плоскость $(ABC)$.

5. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки M, K, N, принадлежащие соответственно ребрам SA, SB, BC, причем прямые MK и AB не параллельны.

Построение сечения:

1. Точки $M$ и $K$ лежат в одной грани $(SAB)$. Проведем через них прямую $MK$.
2. Так как прямые $MK$ и $AB$ лежат в одной плоскости $(SAB)$ и не параллельны, они пересекаются в некоторой точке $X$. Найдем ее: $X = MK \cap AB$.
3. Точка $X$ лежит на прямой $AB$, а значит, принадлежит плоскости основания $(ABC)$. Точка $N$ также лежит в плоскости $(ABC)$ (по условию $N \in BC$).
4. Проведем прямую $XN$ в плоскости $(ABC)$. Эта прямая пересечет ребро $AC$ в точке $L$.
5. Теперь соединим все точки, лежащие в одних гранях:
   • $M$ и $L$ в грани $(SAC)$;
   • $K$ и $N$ в грани $(SBC)$;
   • $N$ и $L$ в грани $(ABC)$ (отрезок прямой $XN$);
   • $M$ и $K$ в грани $(SAB)$.
6. Полученный четырехугольник $MKNL$ является искомым сечением.

6. Используя рисунок из задачи 4, постройте линейный угол двугранного угла SACB.

Двугранный угол $SACB$ — это угол с ребром $AC$, образованный гранями $(SAC)$ и $(ABC)$.

Алгоритм построения линейного угла:

1. Выберем на ребре $AC$ произвольную точку $D$.
2. В плоскости грани $(SAC)$ проведем луч $DS$, перпендикулярный ребру $AC$ ($DS \perp AC$).
3. В плоскости грани $(ABC)$ проведем луч $DB$, перпендикулярный ребру $AC$ ($DB \perp AC$).
4. Угол $\angle SDB$ между этими лучами и будет линейным углом двугранного угла $SACB$.

7. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах. Постройте чертеж. Докажите теорему.

Формулировка: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Чертеж:

Доказательство:
Пусть $AB$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $AC$ — наклонная, $BC$ — ее проекция. Прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $C$.

1. Прямая теорема ($c \perp BC \implies c \perp AC$):

   • Так как $AB \perp \alpha$, то $AB$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, следовательно, $AB \perp c$.
   • Прямая $c$ перпендикулярна $BC$ (по условию) и $AB$ (по доказанному). Значит, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
   • Поскольку $c \perp (ABC)$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая наклонную $AC$. Таким образом, $c \perp AC$.

2. Обратная теорема ($c \perp AC \implies c \perp BC$):

   • Аналогично, $AB \perp c$, так как $AB \perp \alpha$.
   • Прямая $c$ перпендикулярна $AC$ (по условию) и $AB$ (по доказанному). Следовательно, $c \perp (ABC)$.
   • Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $c \perp BC$.

Ответ: 4) проекция $M_1N_1$ построена; 5) сечение $MKNL$; 6) $\angle SDB$; 7) теорема сформулирована и доказана.