ГДЗ 8. В треугольнике ABC угол C равен 90circ , стороны AC и BC равны. На стороне AB отметили точку P так, что угол A...

8. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, стороны $AC$ и $BC$ равны. На стороне $AB$ отметили точку $P$ так, что угол $ACP$ равен $17^\circ$. Найдите градусную меру угла $APC$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию он прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$) и равнобедренный ($AC = BC$).
2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны $45^\circ$. Следовательно, $\angle BAC = \angle ABC = 45^\circ$.
3. Рассмотрим треугольник $APC$. В нём известны два угла:
   • $\angle PAC = \angle BAC = 45^\circ$;
   • $\angle ACP = 17^\circ$ (по условию).
4. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Найдём искомый угол $\angle APC$:
   $$ \angle APC = 180^\circ - (\angle PAC + \angle ACP) = 180^\circ - (45^\circ + 17^\circ) = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ $$

Ответ: $118^\circ$

9. Из пункта А в направлении пункта Б, расстояние между которыми равно 200 км, в 6 часов утра выехал автомобиль. Одновременно с ним из пункта В, расположенного между пунктами А и Б, в том же направлении выехал велосипедист. Доехав до пункта Б, водитель автомобиля сделал остановку на 4 часа, а затем с той же скоростью поехал обратно. На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из А в Б. По горизонтали указано время, а по вертикали — расстояние до пункта А.

1) Найдите, на каком расстоянии от пункта В автомобиль догнал велосипедиста.

1. Определим скорости участников движения по графику:
   • Автомобиль (график 2): выехал из А ($S = 0$) в 6:00 и прибыл в Б ($S = 200$) в 11:00. Время в пути: $11 - 6 = 5$ часов. Скорость автомобиля: $v_a = \frac{200}{5} = 40$ км/ч.
   • Велосипедист (график 1): выехал из В ($S = 100$) в 6:00. К 22:00 он находился на расстоянии 180 км от А. Время в пути: $22 - 6 = 16$ часов. Пройденное расстояние: $180 - 100 = 80$ км. Скорость велосипедиста: $v_v = \frac{80}{16} = 5$ км/ч.
2. Составим уравнения движения (где $t$ — время в часах, $S$ — расстояние от А в км):
   • Для автомобиля: $S_a = 40(t - 6)$.
   • Для велосипедиста: $S_v = 100 + 5(t - 6)$.
3. В момент встречи $S_a = S_v$:
   $$ 40(t - 6) = 100 + 5(t - 6) $$
   $$ 35(t - 6) = 100 $$
   $$ t - 6 = \frac{100}{35} = \frac{20}{7} \approx 2{,}86 \text{ часа} $$
4. Найдём расстояние от А в момент встречи:
   $$ S = 40 \cdot \frac{20}{7} = \frac{800}{7} = 114\frac{2}{7} \text{ км} $$
5. Найдём расстояние от пункта В ($S_B = 100$ км):
   $$ \Delta S = 114\frac{2}{7} - 100 = 14\frac{2}{7} \text{ км} \approx 14{,}3 \text{ км} $$

Ответ: $14\frac{2}{7}$ км (или $\approx 14{,}3$ км).

2) На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт А.

Для достройки графика выполним следующие шаги:

1. Остановка: Автомобиль прибыл в пункт Б ($S = 200$) в 11:00 и стоял там 4 часа. Значит, до 15:00 график будет горизонтальной линией на уровне $S = 200$ (от точки $(11; 200)$ до точки $(15; 200)$).
2. Обратный путь: Автомобиль едет обратно в пункт А ($S = 0$) с той же скоростью 40 км/ч. Путь в 200 км займёт 5 часов. Значит, он прибудет в А в $15 + 5 = 20$ часов. Проводим отрезок от точки $(15; 200)$ до точки $(20; 0)$.

Ответ: график достроен (горизонтальный участок с 11:00 до 15:00, наклонный участок до 20:00).

10. Найдите значение выражения $x(x-16)-(x+8)(x-8)$ при $x = \frac{19}{8}$

1. Упростим выражение, раскрыв скобки и используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
   $$ x(x - 16) - (x + 8)(x - 8) = x^2 - 16x - (x^2 - 64) = x^2 - 16x - x^2 + 64 = -16x + 64 $$
2. Подставим значение $x = \frac{19}{8}$ в упрощённое выражение:
   $$ -16 \cdot \frac{19}{8} + 64 = -2 \cdot 19 + 64 = -38 + 64 = 26 $$

Ответ: 26

11. Нужно изготовить каркасную модель треугольной призмы заданного размера с построенным сечением (см. рисунок), затратив наименьшее возможное количество проволоки. Проволоку можно гнуть под любым углом и сваривать в точках соединения. Какое наименьшее количество кусков проволоки нужно, чтобы изготовить модель, показанную на рисунке?

1. Для решения задачи воспользуемся теорией графов. Минимальное количество непрерывных путей (кусков проволоки), необходимых для покрытия всех рёбер графа, равно $N/2$, где $N$ — количество вершин с нечётной степенью.
2. Определим степени всех вершин графа:
   • У треугольной призмы 6 основных вершин (углы оснований). В каждой из них сходятся 3 ребра. Степень каждой такой вершины равна 3.
   • Сечение добавляет 3 новые вершины на боковых рёбрах. Каждая такая вершина соединяет две части бокового ребра и два ребра сечения. Степень каждой вершины сечения равна 4.
3. Итого имеем 6 вершин нечётной степени (равной 3) и 3 вершины чётной степени (равной 4).
4. Минимальное количество кусков проволоки:
   $$ 6 / 2 = 3 $$

Ответ: 3