ГДЗ №1. Найти: sin T, cos T, tan T На рисунке изображён прямоугольный треугольник △ FKT с прямым углом K ( ∠ K = 90°...

№1. Найти: $\sin T, \cos T, \tan T$

На рисунке изображён прямоугольный треугольник $\triangle FKT$ с прямым углом $K$ ($\angle K = 90^\circ$).

Дано:

• Гипотенуза $FT = 25$
• Катет $KT = 20$

Решение:

1. Найдём длину второго катета $FK$ по теореме Пифагора:

   $$ FK^2 + KT^2 = FT^2 $$
   $$ FK^2 + 20^2 = 25^2 $$
   $$ FK^2 + 400 = 625 $$
   $$ FK^2 = 225 \implies FK = \sqrt{225} = 15 $$

2. Вычислим тригонометрические функции для угла $T$:

   • Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $$\sin T = \frac{FK}{FT} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$$
   • Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $$\cos T = \frac{KT}{FT} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0,8$$
   • Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $$\tan T = \frac{FK}{KT} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0,75$$

Ответ: $\sin T = 0,6$; $\cos T = 0,8$; $\tan T = 0,75$.

№2. Найти $\sin \alpha, \tan \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{1}{8}$

Решение:

Для решения воспользуемся основными тригонометрическими формулами. Будем считать, что $\alpha$ — острый угол ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), так как в школьном курсе геометрии обычно рассматриваются именно такие углы.

1. Найдём $\sin \alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

   $$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $$
   $$ \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64} $$
   $$ \sin \alpha = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 7}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8} $$

2. Найдём $\tan \alpha$ по определению (отношение синуса к косинусу):

   $$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3\sqrt{7}}{8}}{\frac{1}{8}} = 3\sqrt{7} $$

Ответ: $\sin \alpha = \frac{3\sqrt{7}}{8}$; $\tan \alpha = 3\sqrt{7}$.