ГДЗ 10 Тип 10 Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 5 и HD = 8. Найдите площадь ромба. Решение: 1...

10 Тип 10

Высота $BH$ ромба $ABCD$ делит его сторону $AD$ на отрезки $AH = 5$ и $HD = 8$. Найдите площадь ромба.

Решение:

1. Найдём длину стороны ромба $AD$, сложив длины отрезков, на которые её делит высота:

   $$ AD = AH + HD = 5 + 8 = 13 $$

2. Так как у ромба все стороны равны, то сторона $AB = AD = 13$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём высоту $BH$:

   $$ BH^2 = AB^2 - AH^2 $$
   $$ BH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 $$
   $$ BH = \sqrt{144} = 12 $$

4. Площадь ромба вычисляется как произведение стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

   $$ S = AD \cdot BH = 13 \cdot 12 = 156 $$

Ответ: 156

11 Тип 12

Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера.

1. Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то эти окружности касаются.
2. Сумма углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.
3. Существуют две различные прямые, проходящие через одну общую точку.

Разбор:

1. Верно. Это условие внешнего касания двух окружностей.
2. Неверно. Сумма углов любого треугольника на плоскости равна $180^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.
3. Верно. Через любую точку на плоскости можно провести бесконечно много различных прямых.

Ответ: 13

12 Тип 12

Укажите номер утверждения, которое является ложным высказыванием.

1. Если в ромбе один из углов равен $90^\circ$, то этот ромб является квадратом.
2. Треугольник со сторонами 2, 4, 7 существует.
3. Вертикальные углы равны.

Разбор:

1. Верно. Ромб с прямым углом — это квадрат.
2. Ложно. Согласно неравенству треугольника, любая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон. Здесь $7 > 2 + 4$ ($7 > 6$), что невозможно. Такой треугольник не существует.
3. Верно. Это основное свойство вертикальных углов.

Ответ: 2

13 Тип 12

Выберите неверные утверждения и запишите в ответе их номера.

1. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
2. Диагонали ромба всегда равны.
3. Если угол равен $30^\circ$, то вертикальный ему угол равен $150^\circ$.

Разбор:

1. Верно. Из точки вне окружности всегда можно провести ровно две касательные.
2. Неверно. Диагонали ромба равны только в том случае, если он является квадратом. В общем случае они не равны.
3. Неверно. Вертикальные углы всегда равны между собой. Если один угол равен $30^\circ$, то и вертикальный ему равен $30^\circ$. Угол $150^\circ$ будет смежным для данного угла.

Ответ: 23