ГДЗ 10 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб ABCD. Найдите его периметр. Решение: 1. Для нахожде...

10

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб $ABCD$. Найдите его периметр.

Решение:

1. Для нахождения периметра ромба необходимо найти длину его стороны. Все стороны ромба равны.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей ромба.
   • Горизонтальная диагональ $AC$ имеет длину $6$ клеток (от $2$ до $8$ по горизонтали). Её половина равна $3$.
   • Вертикальная диагональ $BD$ имеет длину $8$ клеток (от $1$ до $9$ по вертикали). Её половина равна $4$.
3. По теореме Пифагора найдём сторону ромба $a$:
   $$ a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$
4. Периметр ромба $P$ равен произведению длины стороны на $4$:
   $$ P = 4 \cdot a = 4 \cdot 5 = 20 $$

Ответ: 20

11

На рисунке изображён граф. Катя обвела этот граф, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды. Начала она в вершине $D$. В какой вершине Катя закончила обводить граф?

Решение:

1. Согласно теории графов, путь, проходящий по всем рёбрам графа ровно один раз (эйлеров путь), возможен, если в графе ровно две вершины имеют нечётную степень (количество выходящих линий).
2. В таком случае путь обязательно начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.
3. Подсчитаем степени вершин на рисунке:
   • Вершина $D$ имеет степень $3$ (две дуги и один отрезок $DO$). Это нечётная вершина, в которой Катя начала путь.
   • Вершина $O$ (центр) имеет степень $5$ (пять отрезков: $OG, OB, OE, OD, OK$). Это также нечётная вершина.
   • Остальные вершины либо чётные (например, $A, F, L, C, H$ имеют степень $2$), либо в данной модели задачи предполагается, что единственной другой нечётной вершиной является центр.
4. Следовательно, начав в вершине $D$, Катя должна была закончить обход в другой нечётной вершине — $O$.

Ответ: O

12

Укажите номер утверждения, которое является ложным высказыванием.

1. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то эти окружности не пересекаются.
2. Если два угла треугольника равны $40^\circ$ и $80^\circ$, то третий угол равен $70^\circ$.
3. Вертикальные углы равны.

Решение:

1. Утверждение 1 — истинно. Если расстояние между центрами $d > r_1 + r_2$, то окружности находятся на расстоянии друг от друга и не имеют общих точек.
2. Утверждение 2 — ложно. Сумма углов треугольника всегда равна $180^\circ$. Если два угла равны $40^\circ$ и $80^\circ$, то третий угол должен быть равен: $180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Значение $70^\circ$ неверно.
3. Утверждение 3 — истинно. Это базовая теорема геометрии.

Ответ: 2