ГДЗ 8 Условие: Стороны AC и BC треугольника ABC равны. Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен...

8

Условие: Стороны $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны. Луч $CM$ является биссектрисой внешнего угла $BCD$, угол $MCD$ равен $53^\circ$. Найдите угол $BAC$. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Рассмотрим внешний угол $\angle BCD$. Так как луч $CM$ — биссектриса этого угла, то $\angle BCM = \angle MCD = 53^\circ$.
2. Весь внешний угол при вершине $C$ равен сумме этих углов: $\angle BCD = 53^\circ + 53^\circ = 106^\circ$.
3. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC$.
4. По условию $AC = BC$, следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle BAC = \angle ABC$.
5. Подставим это равенство в уравнение из пункта 3: $106^\circ = \angle BAC + \angle BAC = 2 \cdot \angle BAC$.
6. Находим искомый угол: $\angle BAC = 106^\circ : 2 = 53^\circ$.

Ответ: 53

9

Условие: Из пункта А в направлении пункта Б, расстояние между которыми равно 120 км, в 10 часов утра выехал автомобиль. Одновременно с ним из пункта В, расположенного между пунктами А и Б, навстречу ему выехал велосипедист. Доехав до пункта Б, водитель автомобиля сделал остановку на 4 часа, а затем с той же скоростью поехал обратно. На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из А в Б. По горизонтали указано время, а по вертикали — расстояние до пункта Б.

1. Найдите, на каком расстоянии от пункта А автомобиль и велосипедист встретились.
2. На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт А.

Решение:

1) Определение расстояния до встречи:

• Скорость автомобиля: Согласно графику 2, автомобиль выехал из А ($S = 120$ км до Б) в 10:00 и прибыл в Б ($S = 0$ км) в 12:00. За 2 часа он проехал 120 км. Его скорость $v_{авт} = 120 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 60 \text{ км/ч}$.
• Скорость велосипедиста: Согласно графику 1, велосипедист выехал из пункта В ($S = 90$ км до Б) в 10:00 и прибыл в пункт А ($S = 120$ км до Б) в 16:00. За 6 часов он проехал $120 - 90 = 30$ км. Его скорость $v_{вел} = 30 \text{ км} / 6 \text{ ч} = 5 \text{ км/ч}$.
• Встреча: В 10:00 расстояние между ними составляло $120 - 90 = 30$ км (расстояние от А до В). Они движутся навстречу друг другу со скоростью сближения $v_{сбл} = 60 + 5 = 65 \text{ км/ч}$.
• Время до встречи: $t = 30 / 65 = 6/13$ часа.
• Расстояние от пункта А — это путь, пройденный автомобилем до встречи: $S = 60 \cdot (6/13) = 360/13 \approx 27,7 \text{ км}$.

2) Достройка графика:

• Автомобиль прибыл в Б ($S=0$) в 12:00 и стоял там 4 часа, то есть до 16:00. На графике это горизонтальный отрезок от точки $(12; 0)$ до $(16; 0)$.
• Затем он поехал обратно в А ($S=120$) с той же скоростью 60 км/ч. Путь 120 км займет 2 часа. Значит, он вернется в А в $16 + 2 = 18$ часов. На графике это отрезок от точки $(16; 0)$ до $(18; 120)$.

Ответ:

1. $27 \frac{9}{13}$ км (или $\approx 27,7$ км)