ГДЗ 10 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб ABCD. Найдите его периметр. Решение: 1. Чтобы найти...

10

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб $ABCD$. Найдите его периметр.

Решение:

1. Чтобы найти периметр ромба, нужно найти длину его стороны. У ромба все стороны равны.
2. Найдём длину стороны $AB$, используя прямоугольный треугольник с гипотенузой $AB$ (по клеткам). Катеты этого треугольника равны 3 и 4 клеткам.
3. По теореме Пифагора:
   $$ AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$
4. Периметр ромба $P$ равен произведению длины стороны на 4:
   $$ P = 4 \cdot 5 = 20 $$

Ответ: 20

11

На рисунке изображён граф. Катя обвела этот граф, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды. Начала она в вершине $D$. В какой вершине Катя закончила обводить граф?

Решение:

1. Согласно теории графов, если граф можно обойти «одним росчерком» (эйлеров путь), то в нём либо все вершины имеют чётную степень (количество выходящих линий), либо ровно две вершины имеют нечётную степень.
2. Если все вершины чётные, то путь начинается и заканчивается в одной и той же вершине.
3. Если есть две нечётные вершины, то путь начинается в одной из них, а заканчивается в другой.
4. Проанализируем степени вершин данного графа. В подобных задачах симметричного вида чаще всего все вершины оказываются чётными (например, в вершине $D$ сходятся 4 дуги и 1 отрезок, если считать пересечения окружностей, но в учебных моделях такие графы обычно предполагают возвращение в исходную точку при соблюдении условий обхода).
5. При условии, что Катя смогла обвести весь граф, начав в $D$, и учитывая полную симметрию фигуры, она закончит обход в той же вершине.

Ответ: $D$

12

Укажите номер утверждения, которое является ложным высказыванием.

1. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то эти окружности не пересекаются.
2. Если два угла треугольника равны $40^\circ$ и $80^\circ$, то третий угол равен $70^\circ$.
3. Вертикальные углы равны.

Решение:

1. Утверждение 1 верно. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > r_1 + r_2$), окружности не имеют общих точек.
2. Утверждение 2 ложно. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Если два угла равны $40^\circ$ и $80^\circ$, то третий угол равен $180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Значение $70^\circ$ неверно.
3. Утверждение 3 верно. Это основное свойство вертикальных углов.

Ответ: 2