ГДЗ 4. Из маленьких кубиков собрали параллелепипед (см. рисунок). Его покрасили снаружи со всех сторон. Когда краска...
4.
Из маленьких кубиков собрали параллелепипед (см. рисунок). Его покрасили снаружи со всех сторон. Когда краска высохла, параллелепипед разобрали на кубики. Сколько получилось кубиков, у которых окрашена только одна грань?
Решение:
- Определим размеры параллелепипеда по рисунку: длина — 5 кубиков, ширина — 3 кубика, высота — 3 кубика.
- Кубики, у которых окрашена только одна грань, находятся в центрах граней параллелепипеда (не на ребрах и не в вершинах).
- Для каждой грани количество таких кубиков вычисляется по формуле $(a - 2) \times (b - 2)$, где $a$ и $b$ — размеры грани в кубиках:
- Передняя и задняя грани (размер $5 \times 3$): $(5 - 2) \times (3 - 2) = 3 \times 1 = 3$ кубика на каждой. Всего $3 \times 2 = 6$ кубиков.
- Верхняя и нижняя грани (размер $5 \times 3$): $(5 - 2) \times (3 - 2) = 3 \times 1 = 3$ кубика на каждой. Всего $3 \times 2 = 6$ кубиков.
- Левая и правая грани (размер $3 \times 3$): $(3 - 2) \times (3 - 2) = 1 \times 1 = 1$ кубик на каждой. Всего $1 \times 2 = 2$ кубика.
- Общее количество кубиков с одной окрашенной гранью: $6 + 6 + 2 = 14$.
Ответ: 14
5.
Из кубиков собрали фигуру (см. рис.). Её покрасили снаружи со всех сторон. Когда краска высохла, фигуру разобрали на кубики. Сколько получилось кубиков, у которых окрашены пять сторон (граней)?
Решение:
- Рассмотрим каждый кубик в фигуре и посчитаем количество его открытых (внешних) граней:
- Крайний левый кубик в ряду: соприкасается только одной гранью (правой) с соседним кубиком. Значит, у него окрашено $6 - 1 = 5$ граней.
- Второй кубик слева в ряду: соприкасается тремя гранями (левой, правой и нижней). У него окрашено $6 - 3 = 3$ грани.
- Третий кубик слева в ряду: соприкасается двумя гранями (левой и правой). У него окрашено $6 - 2 = 4$ грани.
- Крайний правый кубик в ряду: соприкасается только одной гранью (левой). У него окрашено $6 - 1 = 5$ граней.
- Нижний кубик: соприкасается только одной гранью (верхней). У него окрашено $6 - 1 = 5$ граней.
- Итого, кубиков с пятью окрашенными гранями: 3 (крайний левый, крайний правый и нижний).
Ответ: 3
6.
От деревянного бруска размером $40\text{ см} \times 50\text{ см} \times 70\text{ см}$ отпилили несколько дощечек размером $3\text{ см} \times 25\text{ см} \times 40\text{ см}$. После этого остался брусок объёмом менее $2500\text{ см}^3$. Сколько дощечек отпилили?
Решение:
- Вычислим начальный объём бруска:
$$ V_{нач} = 40 \cdot 50 \cdot 70 = 140\,000\text{ см}^3 $$
- Вычислим объём одной дощечки:
$$ V_{дощ} = 3 \cdot 25 \cdot 40 = 3000\text{ см}^3 $$
- Пусть $n$ — количество отпиленных дощечек. Тогда объём оставшегося бруска:
$$ V_{ост} = 140\,000 - 3000 \cdot n $$
- По условию $V_{ост} < 2500$:
$$ 140\,000 - 3000n < 2500 $$$$ 140\,000 - 2500 < 3000n $$$$ 137\,500 < 3000n $$$$ n > \frac{137\,500}{3000} \approx 45,83 $$
- Так как количество дощечек должно быть целым числом, минимальное подходящее значение $n = 46$.
- Проверим возможность такого распила: если расположить дощечки стороной 40 см вдоль стороны 40 см бруска, то на площади $50 \times 70$ см нужно разместить прямоугольники $25 \times 3$ см. Вдоль стороны 50 см поместится 2 ряда по 25 см, а вдоль стороны 70 см — $23$ ряда по 3 см ($23 \cdot 3 = 69$ см). Итого можно отпилить $2 \times 23 = 46$ дощечек.
- При $n = 46$ объём остатка: $140\,000 - 46 \cdot 3000 = 140\,000 - 138\,000 = 2000\text{ см}^3$, что действительно меньше 2500.
Ответ: 46