ГДЗ Окружность с центром O касается трёх сторон треугольника ABC. Прямая AO перпендикулярна стороне BC и пересекает е...

Окружность с центром $O$ касается трёх сторон треугольника $ABC$. Прямая $AO$ перпендикулярна стороне $BC$ и пересекает её в точке $N$. Какие из следующих утверждений верны?

• Углы треугольника $ABC$ при вершинах $B$ и $C$ равны.
• Стороны $AB$ и $BC$ равны.
• Треугольник $ABC$ прямоугольный.
• Отрезки $AO, BO$ и $CO$ равны.
• Прямая $AO$ делит сторону $BC$ на два равных отрезка.

Решение

1. Анализ положения центра окружности: Центр вписанной в треугольник окружности (точка $O$) лежит на пересечении биссектрис его внутренних углов. Следовательно, луч $AO$ является биссектрисой угла $A$ треугольника $ABC$.
2. Свойства прямой $AO$: По условию прямая $AO$ перпендикулярна стороне $BC$. Это означает, что в треугольнике $ABC$ отрезок $AN$ является высотой, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$.
3. Тип треугольника: Если в треугольнике биссектриса одного из углов совпадает с высотой, проведённой из той же вершины, то такой треугольник является равнобедренным, а эта сторона ($BC$) является его основанием. Таким образом, $AB = AC$.
4. Проверка утверждений:
   • Углы при вершинах $B$ и $C$ равны: В равнобедренном треугольнике с основанием $BC$ углы при основании равны ($\angle B = \angle C$). Утверждение верно.
   • Стороны $AB$ и $BC$ равны: Мы доказали, что $AB = AC$. Равенство $AB = BC$ возможно только в частном случае равностороннего треугольника, что не следует из общего условия. Утверждение неверно.
   • Треугольник $ABC$ прямоугольный: Равнобедренный треугольник не обязательно является прямоугольным. Утверждение неверно.
   • Отрезки $AO, BO$ и $CO$ равны: Расстояния от вершин до центра вписанной окружности равны только в равностороннем треугольнике. Утверждение неверно.
   • Прямая $AO$ делит сторону $BC$ на два равных отрезка: В равнобедренном треугольнике высота и биссектриса, проведённые к основанию, также являются медианой. Значит, точка $N$ — середина $BC$, и $BN = NC$. Утверждение верно.

Ответ:

1. Углы треугольника $ABC$ при вершинах $B$ и $C$ равны.
2. Прямая $AO$ делит сторону $BC$ на два равных отрезка.