ГДЗ В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность с центром O. Она касается стороны AB в точке...

В равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ вписана окружность с центром $O$. Она касается стороны $AB$ в точке $E$.

Дополните таблицу возможных значений величины угла $COE$ в зависимости от значений величины угла $A$ треугольника $ABC$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По свойству углов при основании:
$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$
Тогда угол при вершине $B$ равен:
$\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$
Точка $O$ — центр вписанной окружности, который является точкой пересечения биссектрис треугольника. Следовательно:

$CO$ — биссектриса $\angle BCA$, значит $\angle OCB = \frac{\alpha}{2}$.
$BO$ — биссектриса $\angle ABC$, значит $\angle OBC = \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} = 90^\circ - \alpha$.

В треугольнике $OBC$ сумма углов равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (90^\circ - \alpha + \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$
Точка $E$ — точка касания окружности со стороной $AB$, значит радиус $OE \perp AB$. В прямоугольном треугольнике $OEB$:
$\angle EOB = 90^\circ - \angle OBE = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$
Искомый угол $\angle COE$ (согласно рисунку, это угол, содержащий внутри себя луч $OB$):
$\angle COE = \angle EOB + \angle BOC = \alpha + (90^\circ + \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ + 1,5\alpha$
Вычислим значения для таблицы:

Если $\angle BAC = 52^\circ$, то $\angle COE = 90^\circ + 1,5 \cdot 52^\circ = 90^\circ + 78^\circ = 168^\circ$.
Если $\angle COE = 147^\circ$, то $147^\circ = 90^\circ + 1,5\alpha \Rightarrow 1,5\alpha = 57^\circ \Rightarrow \alpha = 38^\circ$.