ГДЗ 22 В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого пе...
22
В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AC$ проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении $4:7$ (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.
Решение:
- Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle B = 90^\circ$) серединный перпендикуляр к гипотенузе $AC$ пересекает катет $BC$ в точке $K$. Соединим $K$ с вершиной $A$.
- По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Значит, $AK = KC$.
- В равнобедренном треугольнике $AKC$ углы при основании равны: $\angle KAC = \angle KCA$.
- Отрезок $AK$ делит угол $A$ в отношении $4:7$. Пусть меньшая часть (при катете $AB$) $\angle BAK = 4x$, а большая часть $\angle KAC = 7x$. Тогда $\angle A = 4x + 7x = 11x$.
- Так как $\angle KAC = \angle C$, то $\angle C = 7x$.
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$:
$$ \angle A + \angle C = 90^\circ $$$$ 11x + 7x = 90^\circ $$$$ 18x = 90^\circ $$$$ x = 5^\circ $$
- Искомый угол $A = 11 \cdot 5^\circ = 55^\circ$.
Ответ: $55^\circ$
23
В треугольнике $ABC$ стороны $BC$ и $AC$ равны, угол $C$ равен $112^\circ$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $M$. Найдите величину угла $AMB$.
Решение:
- Треугольник $ABC$ равнобедренный ($BC = AC$), углы при основании равны:
$$ \angle A = \angle B = (180^\circ - \angle C) : 2 = (180^\circ - 112^\circ) : 2 = 68^\circ : 2 = 34^\circ $$
- Так как $AM$ и $BM$ — биссектрисы, то в треугольнике $AMB$:
$$ \angle MAB = \frac{1}{2} \angle A = 17^\circ $$$$ \angle MBA = \frac{1}{2} \angle B = 17^\circ $$
- Сумма углов треугольника $AMB$ равна $180^\circ$:
$$ \angle AMB = 180^\circ - (\angle MAB + \angle MBA) = 180^\circ - (17^\circ + 17^\circ) = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ $$
Ответ: $146^\circ$
24
Сторона $AB$ треугольника $ABC$ продолжена за точку $B$. На продолжении отмечена точка $D$ так, что $BC = BD$. Найдите величину угла $BCD$, если угол $ACB$ равен $15^\circ$, а угол $BAC$ равен $35^\circ$.
Решение:
- Найдем внешний угол $\angle CBD$ треугольника $ABC$ при вершине $B$. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
$$ \angle CBD = \angle BAC + \angle ACB = 35^\circ + 15^\circ = 50^\circ $$
- Треугольник $BCD$ равнобедренный по условию ($BC = BD$), значит, углы при основании $CD$ равны:
$$ \angle BCD = \angle BDC $$
- Сумма углов треугольника $BCD$ равна $180^\circ$:
$$ \angle CBD + 2 \cdot \angle BCD = 180^\circ $$$$ 50^\circ + 2 \cdot \angle BCD = 180^\circ $$$$ 2 \cdot \angle BCD = 130^\circ $$$$ \angle BCD = 65^\circ $$
Ответ: $65^\circ$
25
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ угол $C$ в 4 раза больше угла $A$. Найдите величину внешнего угла при вершине $B$.
Решение:
- Пусть $\angle A = x$. Так как треугольник равнобедренный с основанием $AB$, то $\angle B = \angle A = x$. Угол при вершине $\angle C = 4x$.
- Сумма углов треугольника:
$$ x + x + 4x = 180^\circ $$$$ 6x = 180^\circ $$$$ x = 30^\circ $$Значит, $\angle B = 30^\circ$.
- Внешний угол при вершине $B$ смежен с внутренним углом $B$:
$$ \angle B_{ext} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $$
Ответ: $150^\circ$
26
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Высота треугольника, проведённая из вершины $C$, равна 18. Найдите длину стороны $BC$.
Решение:
- В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = AC$) углы при основании $BC$ равны:
$$ \angle B = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ $$
- Пусть $CH$ — высота, проведённая из вершины $C$ к прямой $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$ ($\angle H = 90^\circ$).
- В треугольнике $CHB$ катет $CH = 18$ лежит против угла $B = 30^\circ$. По свойству такого катета, он равен половине гипотенузы $BC$:
$$ CH = \frac{1}{2} BC \implies BC = 2 \cdot CH = 2 \cdot 18 = 36 $$
Ответ: 36