ГДЗ 15. Тип 15 № 4205 Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скорость...

15. Тип 15 № 4205

Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть $S$ — расстояние между пунктами А и В, а $v$ — скорость первого автомобиля (в км/ч).

1. Время, затраченное первым автомобилем на весь путь: $t_1 = \frac{S}{v}$.
2. Второй автомобиль проехал первую половину пути ($\frac{S}{2}$) со скоростью 30 км/ч, а вторую половину — со скоростью $(v + 9)$ км/ч. Время второго автомобиля: $t_2 = \frac{S/2}{30} + \frac{S/2}{v+9} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2(v+9)}$.
3. Так как автомобили прибыли одновременно, приравняем время:
   $$ \frac{S}{v} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2(v+9)} $$
   Разделим обе части на $S$ ($S \neq 0$):
   $$ \frac{1}{v} = \frac{1}{60} + \frac{1}{2(v+9)} $$
   $$ \frac{1}{v} = \frac{v+9 + 30}{60(v+9)} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{v+39}{60v + 540} $$
   $$ 60v + 540 = v^2 + 39v \Rightarrow v^2 - 21v - 540 = 0 $$
4. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
   $$ D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 441 + 2160 = 2601 = 51^2 $$
   $$ v_1 = \frac{21 + 51}{2} = 36; \quad v_2 = \frac{21 - 51}{2} = -15 $$
   Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v = 36$ км/ч.

Ответ: 36

16. Тип 16 № 7860

На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $n$.

1. Общее количество пирожков: $n = 12$.
2. Количество пирожков с вишней: $m = 3$.
3. $P = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Ответ: 0,25

17. Тип 17 № 8652

Найдите значение выражения $\sqrt{4\sqrt{5} + 9} - \sqrt{5}$.

Решение:

Заметим, что выражение под корнем можно представить в виде полного квадрата:

Тогда исходное выражение примет вид:

Так как $\sqrt{5} + 2 > 0$, модуль раскрывается со знаком «плюс»:

Ответ: 2

18. Тип 18 № 3813

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагональ $BD$ равна 32, а угол $A$ равен $45^\circ$. Найдите бо́льшую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно $8\sqrt{15}$.

Решение:

1. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Так как $\angle A = 45^\circ$, то перпендикулярной является сторона $CD$. Тогда $\angle C = \angle D = 90^\circ$.
2. В прямоугольном треугольнике $BCD$ ($\angle C = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдем катет $CD$:
   $$ CD = \sqrt{BD^2 - BC^2} = \sqrt{32^2 - (8\sqrt{15})^2} = \sqrt{1024 - 64 \cdot 15} = \sqrt{1024 - 960} = \sqrt{64} = 8 $$
3. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. $BH = CD = 8$.
4. В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle H = 90^\circ$) угол $A = 45^\circ$, значит, треугольник равнобедренный и $AH = BH = 8$. Найдем гипотенузу $AB$:
   $$ AB = \frac{BH}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\sqrt{2}/2} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} $$
5. Сравним боковые стороны: $CD = 8$ и $AB = 8\sqrt{2} \approx 11,3$. Бо́льшая сторона — $AB$.

Ответ: $8\sqrt{2}$