ГДЗ 16. Условие: В треугольнике MNK на стороне MK отметили произвольную точку P. В треугольнике MNP провели биссектри...

16.

Условие: В треугольнике $MNK$ на стороне $MK$ отметили произвольную точку $P$. В треугольнике $MNP$ провели биссектрису $PT$. В треугольнике $NKP$ построили высоту $PQ$. Угол $TPQ$ равен $90^\circ$, $PK = 8$. Найди $NP$.

Решение:

1. Так как точка $P$ лежит на стороне $MK$, углы $\angle MPN$ и $\angle NPK$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$:

   $$ \angle MPN + \angle NPK = 180^\circ $$

2. По условию $PT$ — биссектриса угла $\angle MPN$, следовательно:

   $$ \angle TPN = \frac{1}{2} \angle MPN $$

3. Нам известно, что $\angle TPQ = 90^\circ$. Выразим угол $\angle NPQ$ через известные величины:

   $$ \angle NPQ = \angle TPQ - \angle TPN = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle MPN $$

4. Подставим в это выражение $\angle MPN = 180^\circ - \angle NPK$:

   $$ \angle NPQ = 90^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ - \angle NPK) = 90^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2} \angle NPK = \frac{1}{2} \angle NPK $$

   Это означает, что отрезок $PQ$ является биссектрисой угла $\angle NPK$.

5. По условию задачи $PQ$ также является высотой треугольника $NKP$. Если в треугольнике биссектриса угла совпадает с высотой, проведенной из той же вершины, то этот треугольник является равнобедренным, а стороны, образующие этот угол, равны:

   $$ NP = PK $$

6. Так как по условию $PK = 8$, то:

   $$ NP = 8 $$

Ответ: 8