ГДЗ 2 Дано: * Окружность с центром в точке O; * MN и MK — касательные к окружности (N и K — точки касания); * ON = 9...

2

Дано:

• Окружность с центром в точке $O$;
• $MN$ и $MK$ — касательные к окружности ($N$ и $K$ — точки касания);
• $ON = 9$ (радиус окружности);
• $OM = 18$.

Найти: $\angle NMK$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ONM$. Так как $MN$ — касательная, а $ON$ — радиус, проведённый в точку касания, то $ON \perp NM$. Следовательно, $\triangle ONM$ — прямоугольный ($\angle ONM = 90^\circ$).

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle ONM$ катет $ON = 9$, а гипотенуза $OM = 18$. Заметим, что катет в два раза меньше гипотенузы:

   $$ \frac{ON}{OM} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} $$

   По свойству прямоугольного треугольника, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Значит, $\angle OMN = 30^\circ$.

3. Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой, из которой проведены две касательные, является биссектрисой угла между касательными. Таким образом, $OM$ — биссектриса угла $\angle NMK$, откуда:

   $$ \angle NMK = 2 \cdot \angle OMN = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ $$

Ответ: $60^\circ$