ГДЗ Вершины треугольника ABC и центр O вписанной в него окружности попали на пересечения линий разметки клетчатой бум...

Вершины треугольника $ABC$ и центр $O$ вписанной в него окружности попали на пересечения линий разметки клетчатой бумаги. Каково расстояние в миллиметрах от точки $O$ до прямой $BC$, если сторона клетки равна $1\text{ см}$?

Решение:

1. Определим длины сторон треугольника в клетках. По рисунку видно, что треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$, так как катеты $AC$ и $AB$ лежат на линиях сетки.

   • Катет $AC = 12$ клеток.
   • Катет $AB = 16$ клеток.

2. Найдем гипотенузу $BC$ по теореме Пифагора:

   $$ BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ клеток.} $$

3. Найдем радиус $r$ вписанной окружности. Расстояние от центра вписанной окружности $O$ до любой из сторон треугольника (в том числе до прямой $BC$) равно радиусу этой окружности. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

   $$ r = \frac{AC + AB - BC}{2} $$

   Подставим значения в клетках:

   $$ r = \frac{12 + 16 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ клетки.} $$

4. Переведем расстояние в миллиметры. По условию сторона одной клетки равна $1\text{ см} = 10\text{ мм}$.

   $$ r = 4 \times 10\text{ мм} = 40\text{ мм}. $$

Ответ: $r = 40$ мм