ГДЗ ЗАДАНИЕ 6 Отрезки AC и AB соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, ∠ BAC = 26° . Найдите ∠ BOC. Отв...

ЗАДАНИЕ 6

Отрезки $AC$ и $AB$ соответственно диаметр и хорда окружности с центром $O$, $\angle BAC = 26^\circ$. Найдите $\angle BOC$. Ответ запишите в градусах.

Решение:

Существует два способа решения этой задачи.

Способ 1: Через свойства равнобедренного треугольника

1. Рассмотрим $\triangle AOB$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, следовательно, $OA = OB$.
2. Значит, $\triangle AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBA = \angle OAB = 26^\circ$.
3. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $O$:
   $$ \angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (26^\circ + 26^\circ) = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ $$
4. Углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ — смежные, так как $AC$ — диаметр (точки $A, O, C$ лежат на одной прямой). Их сумма равна $180^\circ$:
   $$ \angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ $$

Способ 2: Через центральный и вписанный углы

1. Угол $\angle BAC$ является вписанным и опирается на дугу $BC$. По свойству вписанного угла, его величина равна половине дуги, на которую он опирается: $\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC$.
2. Угол $\angle BOC$ является центральным и опирается на ту же дугу $BC$. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается: $\angle BOC = \cup BC$.
3. Следовательно, центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу:
   $$ \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 26^\circ = 52^\circ $$

Ответ: 52