ГДЗ 16 На продолжении стороны BC равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отметили точку D так, что CD = AC...

16

На продолжении стороны $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ отметили точку $D$ так, что $CD = AC$, а точка $C$ находится между точками $B$ и $D$. Найдите величину угла $ADC$, если угол $ABC$ равен $36^\circ$.

Решение:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника боковые стороны равны: $AB = BC$. Углы при основании также равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
2. Зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а угол при вершине $\angle ABC = 36^\circ$, вычислим углы при основании:
   $$ \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ $$
3. Точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$. Это означает, что точки $B, C, D$ лежат на одной прямой. Угол $\angle ACD$ является смежным к углу $\angle BCA$, поэтому их сумма равна $180^\circ$:
   $$ \angle ACD = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ $$
4. Рассмотрим треугольник $ACD$. По условию $CD = AC$, следовательно, этот треугольник также является равнобедренным с основанием $AD$. Углы при его основании равны: $\angle CAD = \angle ADC$.
5. Вычислим искомый угол $\angle ADC$:
   $$ \angle ADC = \frac{180^\circ - \angle ACD}{2} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ $$

Ответ: $36^\circ$