ГДЗ ЗАДАНИЕ 9 Хорда пересекает диаметр окружности под углом 30° и делит его на отрезки длиной 10 см и 12 см. Найдите...
ЗАДАНИЕ 9
Хорда пересекает диаметр окружности под углом $30^\circ$ и делит его на отрезки длиной 10 см и 12 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды. Ответ запишите в сантиметрах.
Решение:
-
Найдём длину диаметра и радиус окружности: Длина диаметра равна сумме отрезков, на которые его делит точка пересечения с хордой:
$$ D = 10 + 12 = 22 \text{ см} $$Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:
$$ R = \frac{D}{2} = \frac{22}{2} = 11 \text{ см} $$ -
Найдём расстояние от центра окружности до точки пересечения хорды с диаметром: Пусть $O$ — центр окружности, а $P$ — точка пересечения хорды и диаметра. Так как центр $O$ находится на расстоянии 11 см от любого конца диаметра, а точка $P$ — на расстоянии 10 см от одного из концов, то расстояние между ними составляет:
$$ OP = 11 - 10 = 1 \text{ см} $$ -
Найдём расстояние от центра до хорды: Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из этой точки на прямую. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OPH$ (где $H$ — основание перпендикуляра на хорду):
- Гипотенуза $OP = 1 \text{ см}$.
- Угол $\angle OPH = 30^\circ$ (по условию).
- Катет $OH$ лежит против угла в $30^\circ$, следовательно, он равен половине гипотенузы:
$$ OH = OP \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot 0,5 = 0,5 \text{ см} $$
Ответ: 0,5