ГДЗ В треугольник MNP вписана окружность. Точки Q и R — её общие точки со сторонами MP и MN соответственно. Известны...

В треугольник $MNP$ вписана окружность. Точки $Q$ и $R$ — её общие точки со сторонами $MP$ и $MN$ соответственно. Известны длины четырёх отрезков:

Найдите периметр треугольника $MNP$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных к окружности, проведённых из одной точки: отрезки касательных равны.

1. Пусть $S$ — точка касания вписанной окружности со стороной $PN$.
2. Отрезки касательных, проведённых из вершины $M$, равны: $MQ = MR = 36$. Это соответствует условию задачи.
3. Отрезки касательных, проведённых из вершины $P$, равны: $PS = PQ = 77$.
4. Отрезки касательных, проведённых из вершины $N$, равны: $NS = NR = 53$.

Теперь найдём длины всех сторон треугольника $MNP$:

• $MP = MQ + PQ = 36 + 77 = 113$;
• $MN = MR + NR = 36 + 53 = 89$;
• $PN = PS + NS = 77 + 53 = 130$.

Периметр треугольника $P_{MNP}$ равен сумме длин всех его сторон:

Ответ: 332