ГДЗ Из точки H проведены перпендикуляры EH, FH и GH к сторонам треугольника KLM. Они оказались равными друг другу. Пе...

Из точки $H$ проведены перпендикуляры $EH$, $FH$ и $GH$ к сторонам треугольника $KLM$. Они оказались равными друг другу. Периметр треугольника равен $70$, а сторона $LM$ разделена на два отрезка с известными длинами: $FL = 8, FM = 15$. Найдите длины сторон треугольника.

Решение

1. Свойство точки $H$. Поскольку перпендикуляры $EH$, $FH$ и $GH$, опущенные из точки $H$ на стороны треугольника, равны между собой ($EH = FH = GH$), точка $H$ является центром вписанной окружности треугольника $KLM$. Точки $E$, $F$ и $G$ — это точки касания окружности со сторонами.

2. Свойство отрезков касательных. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной вершины, равны. Следовательно:

   • $LE = LF = 8$
   • $MG = FM = 15$
   • $KE = KG = x$ (обозначим неизвестную длину через $x$)

3. Вычисление стороны $LM$:

   $$ LM = LF + FM = 8 + 15 = 23 $$

4. Составление уравнения по периметру. Периметр $P$ — это сумма всех сторон треугольника:

   $$ P = KL + LM + KM = 70 $$

   Выразим стороны $KL$ и $KM$ через $x$:

   $$ KL = LE + KE = 8 + x $$
   $$ KM = KG + MG = x + 15 $$

   Подставим значения в формулу периметра:

   $$ (8 + x) + 23 + (x + 15) = 70 $$
   $$ 2x + 46 = 70 $$
   $$ 2x = 70 - 46 $$
   $$ 2x = 24 $$
   $$ x = 12 $$

5. Нахождение длин сторон:

   • $KL = 8 + 12 = 20$
   • $LM = 23$
   • $KM = 12 + 15 = 27$

Проверка: $20 + 23 + 27 = 70$. Условие выполняется.

Ответ: $KL = 20, LM = 23, KM = 27$