ГДЗ ЗАДАНИЕ 11 Периметр треугольника ABC, описанного около окружности, равен 68 см. Точка касания со стороной AB дели...

ЗАДАНИЕ 11

Периметр треугольника $ABC$, описанного около окружности, равен 68 см. Точка касания со стороной $AB$ делит эту сторону в отношении $3:4$, считая от вершины $A$. Точка касания со стороной $BC$ удалена от вершины $C$ на 6 см. Найдите сторону $AC$. Ответ запишите в сантиметрах.

Решение:

1. Пусть точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ будут $M$, $N$ и $K$ соответственно.
2. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, отрезки касательных равны:
   • $AM = AK$
   • $BM = BN$
   • $CN = CK$
3. Из условия задачи известно, что точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $3:4$, считая от вершины $A$. Введём коэффициент пропорциональности $x$. Тогда:
   • $AM = 3x$
   • $MB = 4x$ Следовательно, $AK = AM = 3x$ и $BN = BM = 4x$.
4. Также дано, что точка касания $N$ удалена от вершины $C$ на 6 см, то есть $CN = 6$ см. Тогда $CK = CN = 6$ см.
5. Выразим длины сторон треугольника через $x$:
   • $AB = AM + MB = 3x + 4x = 7x$
   • $BC = BN + NC = 4x + 6$
   • $AC = AK + KC = 3x + 6$
6. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон:
   $$ P = AB + BC + AC $$
   $$ 68 = 7x + (4x + 6) + (3x + 6) $$
   $$ 68 = 14x + 12 $$
   $$ 14x = 68 - 12 $$
   $$ 14x = 56 $$
   $$ x = 4 $$
7. Найдём длину стороны $AC$:
   $$ AC = 3x + 6 = 3 \cdot 4 + 6 = 12 + 6 = 18 \text{ см} $$

Ответ: 18